Richiesta di spiegazione integrale nel campo dei complessi
Ciao,
ho dei problemi con il seguente integrale:
Calcolare, usando i metodi della variabile complessa, il seguente integrale
$\int_{0}^{2\pi} \frac{\sin t}{2 + \cos t} dt$
Ora, dal momento che mi sono ingarbugliato sin dall'inizio, ho deciso di leggere la soluzione, ma sono rimasto alquanto perplesso per quanto riguarda una cosa.
Soluzione:
Sebbene l'integrale possa essere velocemente calcolato osservando che la funzione è periodica e dispari, viene richiesto il calcolo tramite la tecnica della variabile complessa. Ponendo $z=e^{ix}$
Ora, quì immagino che per $z$ intenda $t$. Ad ogni modo non capisco la ragione di questa sostituzione, ma soprattutto come possa mai venirmi in mente di farla. Ok, sarà esperienza, ma cosa devo fumarmi per capirlo?
$\sin t = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
$\cos t = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$
$dz=ie^{ix}dx$
Quì, un altro dubbio: che bisogno c'è di mettere $\sin t$ e $\cos t$ nella forma di Eulero se poi successivamente non la usa? Mi sembra di vedere dei passaggi buttati quà e la senza spiegazione, anche se poi si giunge ad una soluzione.
L'integrale si riscrive in termini della variabile z ed è uguale a 0:
$-\int_{\gamma}\frac{z^2 -1}{z(4z + z^2 + 1)}dz = -2\pi i (-1+1)=0$
Quì, ok, ha usato il teorema dei residui e siamo d'accordo. So risolvere gli integrali di questo tipo. Probabilmente non capisco bene il passaggio dal primo integrale a quello quì sopra.
Qualcuno può darmi una mano per favore?
Grazie.
ho dei problemi con il seguente integrale:
Calcolare, usando i metodi della variabile complessa, il seguente integrale
$\int_{0}^{2\pi} \frac{\sin t}{2 + \cos t} dt$
Ora, dal momento che mi sono ingarbugliato sin dall'inizio, ho deciso di leggere la soluzione, ma sono rimasto alquanto perplesso per quanto riguarda una cosa.
Soluzione:
Sebbene l'integrale possa essere velocemente calcolato osservando che la funzione è periodica e dispari, viene richiesto il calcolo tramite la tecnica della variabile complessa. Ponendo $z=e^{ix}$
Ora, quì immagino che per $z$ intenda $t$. Ad ogni modo non capisco la ragione di questa sostituzione, ma soprattutto come possa mai venirmi in mente di farla. Ok, sarà esperienza, ma cosa devo fumarmi per capirlo?
$\sin t = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
$\cos t = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$
$dz=ie^{ix}dx$
Quì, un altro dubbio: che bisogno c'è di mettere $\sin t$ e $\cos t$ nella forma di Eulero se poi successivamente non la usa? Mi sembra di vedere dei passaggi buttati quà e la senza spiegazione, anche se poi si giunge ad una soluzione.
L'integrale si riscrive in termini della variabile z ed è uguale a 0:
$-\int_{\gamma}\frac{z^2 -1}{z(4z + z^2 + 1)}dz = -2\pi i (-1+1)=0$
Quì, ok, ha usato il teorema dei residui e siamo d'accordo. So risolvere gli integrali di questo tipo. Probabilmente non capisco bene il passaggio dal primo integrale a quello quì sopra.
Qualcuno può darmi una mano per favore?
Grazie.
Risposte
Vedilo così: parti dalla "versione reale", poi ti ricordi che le funzioni trigonometriche hanno quella forma complessa. Allora le scrivi nella forma complessa. L'unica cosa è che al posto di x bisognerebbe scrivere t, altrimenti non ha senso. Poi fai un cambio di variabili ponendo $z=e^(it)$ e facendo un po' di semplificazioni trovi il secondo integrale.
Ok, perfetto.
Ho fatto due calcoli e capito i passaggi.
Grazie mille!!!
Ho fatto due calcoli e capito i passaggi.
Grazie mille!!!
Prego duemilacinquecentoventisette!!!
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