Richiesta di chiarimenti riguardo ad una dimostrazione

[carlosmoya]

Salve a tutti, vorrei sapere se qualcuno può darmi una chiarificazione in merito ad una dimostrazione:

Sul mio libro di testo sta scritta la seguente nota
l'insieme A = [2^x(2 elevato alla x) : x appartenga a R]
Allora: inf A=0 e A non è sup. limitato
Infatti x ogni n appartente N 2^n > n ---> A non è sup. limitato
x ogni n appartente N \ [0] 0<2^-n<1/n ---> 0<=infA<=inf [1/n : n appartiene N \ [0] ] = 0 ---> inf A = 0

premetto subito che la dimostrazione del fatto che A non è sup. limitato, penso derivi da una restrizione al campo dei naturali usando la proprità archimedea e il fatto che 2^n>n èstato usato come esercizio per la dimostrazione del principio di induzione nelle pagine precedenti.

Ciò che non capisco è il passaggio alla considerazione degli inversi e il resto del ragionamento per arrivare a determinare Inf A= 0.
Se qualcuno potesse aiutarmi perchè non so dove sbattere la testa.

[carlo232]

"carlosmoya":
Ciò che non capisco è il passaggio alla considerazione degli inversi e il resto del ragionamento per arrivare a determinare Inf A= 0.
Se qualcuno potesse aiutarmi perchè non so dove sbattere la testa.

Sai che $2^n>n$. Ora non so quanto elementare sia, ma essendo entrambi i membri non nulli è possibile sostituirli con i propri inversi cambiare il verso della disuguaglianza e ottenere una disuguaglianza ancora vera, facciamo ciò e abbiamo $2^-n

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[Principe2]

semplicemente, da $2^n>n$ segue $1/(2^n)<1/n$, cioè $2^{-n}<1/n$.

[carlo232]

"ubermensch":semplicemente, da $2^n>n$ segue $1/(2^n)<1/n$, cioè $2^{-n}<1/n$.

Eh eh, è così, però visto quanto ci si soffermasse su cose elementari come lim sup e inf dell'insieme A mi sembrava giusta una breve spiegazione, non credi?

[Principe2]

forse si... non lo so... alla fine quel passaggio è una semplice divisione
sup e inf sono leggermente più complicati, almeno dalla definizione

[carlosmoya]

Vi ringrazio, ho letto adesso le vostre risposte e credo di aver trovato una cosa in più. Grazie siete stati molto gentili