Richiesta di aiuto su "Integrali Ellittici"

[kebarb]

Buon giorno a tutti!

Ho gia' sollevato questo problema in un post di un mesetto fa... nessuno allora mi aveva dato risposta. Ci riprovo ora nella speranza che quancuno possa aiutarmi... sto' veramente impazzendo... !!!

Risolvendo dei calcoli strutturali su una sezione ellitttica sono incappato sulla ricerca della soluzione di un integrale definito tra

$0 < z< 2 Pi$ ,

la cui funzione integranda e' la seguente:

$int sqrt[1 - m*sin[z]^2] * sqrt[1 - n*sin[z]^2] dz$

con tutti i parametri ($z,m,n$) reali e:

$0
Non sono molto esperto di integrali ellittici , per cui faccio un po' fatica a trovare la primitiva.
Usando Mathematica pero' e' possibile:

1 - ottenere una soluzione simbolica dell'integrale attraverso funzioni complesse
2 - ottenere un valore reale se calcolato numericamente (nella forma a+ 0. i)

Il problema e' che:
- la soluzione pare essere definita da funzioni complesse, ma numericamente si verifica che la parte immaginaria e' zero!
- le due soluzioni ottenute con i metodi 1 e 2 NON coincidono. L'integrale e' infatti definito e il valore del primo e' sempre zero!

Sono un po' disperato... ringrazio da subito tutti coloro che potranno aiutarmi.

A presto!!!

Kebarb

[Luca.Lussardi]

In generale un integrale ellittico non e' elementarmente calcolabile; ci sono delle approssimazioni note ottenute per integrazione per serie, ma dipende da cosa uno ci deve fare. Visto che hai dei software a disposizione ti conviene appoggiarti a quelli per controllare numericamente il valore dell'integrale.

[kebarb]

Grazie Luca per la tua risposta

in effetti sto' usando Mathematica per risolvere il problema, ma il fatto e' che mi interesserebbe trovare la primitiva in forma simbolica e non numerica.
Non so ... credo cmq che alla fine seguiro la tua strada.

Grazie ancora !!

Kebarb

[Luca.Lussardi]

Si', forse non hai colto la cosa pero': e' impossibile trovare la primitiva in forma simbolica, non che sia particolarmente difficile....

[kebarb]

ma in effetti ho trovato un articolo di un certo CARLSON B. C. che lo ha fatto per una famiglia di funzioni molto simile allaf unzione che voglio integrare. Il fatto e' che l'articolo e' una vera ... mazzata per me e non pochi aspetti sono deltutto oscuri. Mathematica e' una gran bel programma, ma quello che mi da' come risultato e' una funzione in campo complesso che si annulla agli estremi. In realta' quindi credo che sia possibile ricavarla, a meno di opportune semplificazioni e o approssimazioni.

Ciao !!

Kebarb

[Luca.Lussardi]

Quel "molto simile" puo' voler dire molte cose, non ci farei tanto affidamento. Per altro se l'articolo e' una mazzata non credo che sia la dimostrazione che certe funzioni elementari sono le primitive di altre, per dimostrare un Teorema cosi' basta calcolare la derivata ed e' finita.

Il risultato negativo di cui parlavo io e' di tutt'altro tipo: esiste una teoria che classifica le funzioni che ammettono primitive "elementari" ovvero che si possono scrivere utilizzando le funzioni elementari. Temo che la funzione tua non rientri in questa categoria. Per esempio so di certo che la funzione $e^(x^2)$ non rientra nella categoria detta. Quindi non si sta dicendo che le primitive non esistono ($\int_0^x e^(t^2)dt$ e' una primitiva di $e^(x^2)$) ma si sta dicendo che tali primitive non si possono scrivere utilizzando solo le funzioni elementari piu' usuali. Questo e' stato dimostrato, quindi non ci riuscirai mai, ne' tu ne' qualunque software, per quanto potente esso sia.

[spassky]

"kebarb":Buon giorno a tutti!

Ho gia' sollevato questo problema in un post di un mesetto fa... nessuno allora mi aveva dato risposta. Ci riprovo ora nella speranza che quancuno possa aiutarmi... sto' veramente impazzendo... !!!

Risolvendo dei calcoli strutturali su una sezione ellitttica sono incappato sulla ricerca della soluzione di un integrale definito tra

$0 < z< 2 Pi$ ,

la cui funzione integranda e' la seguente:

$int sqrt[1 - m*sin[z]^2] * sqrt[1 - n*sin[z]^2] dz$

con tutti i parametri ($z,m,n$) reali e:

$0
Non sono molto esperto di integrali ellittici , per cui faccio un po' fatica a trovare la primitiva.
Usando Mathematica pero' e' possibile:

1 - ottenere una soluzione simbolica dell'integrale attraverso funzioni complesse
2 - ottenere un valore reale se calcolato numericamente (nella forma a+ 0. i)

Il problema e' che:
- la soluzione pare essere definita da funzioni complesse, ma numericamente si verifica che la parte immaginaria e' zero!
- le due soluzioni ottenute con i metodi 1 e 2 NON coincidono. L'integrale e' infatti definito e il valore del primo e' sempre zero!

Sono un po' disperato... ringrazio da subito tutti coloro che potranno aiutarmi.

A presto!!!

Kebarb

Se ti può essere utile ho trovato su una tabella l'integrale di

$int 1/(sqrt[1 - m*sin[z]^2] * sqrt[1 - n*sin[z]^2] )dz$