Ricetta per cucinare un Banach e ottenere un Hilbert?
Dato uno spazio di Hilbert (reale, per fare le cose facili) $(H,(,),|*|)$ in esso vale l'identità di polarizzazione:
$forall x,y in H: 4(x,y)=|x+y|^2-|x-y|^2$
e l'identità del parallelogramma:
$forall x,y in H: |x+y|^2+|x-y|^2=2|x|^2+2|y|^2$
dato allora uno spazio normato, ci domandiamo: possiamo costruire un prodotto scalare su esso sfruttando la suddetta identità? La risposta in generale è no, visto che non c'è niente che ci garantisca il soddisfacimento degli assiomi di prodotto scalare.
Il prof. c'ha dato come esercizio: dato uno spazio di Banach $B$ in cui vale l'identità del parallelogramma, mostrare che esso è uno spazio di Hilbert.
Allora: sfrutto l'identità del parallelogramma e di polarizzazione per definire il prodotto scalare:
$(x,y)=frac{|x|^2+|y|^2-|x-y|^2}{2}$
mostriamo che è prodotto scalare: tutto risulta "ovvio" dalla definizione, tranne la linearità (basta dimostrarla sulla prima variabile, tanto ho mostrato che è simmetrico), che "non mi viene". Fin'ora in effetti però non ho sfruttato il fatto che ho un Banach, quindi sicuramente sta lì il punto... Come posso fare?
$forall x,y in H: 4(x,y)=|x+y|^2-|x-y|^2$
e l'identità del parallelogramma:
$forall x,y in H: |x+y|^2+|x-y|^2=2|x|^2+2|y|^2$
dato allora uno spazio normato, ci domandiamo: possiamo costruire un prodotto scalare su esso sfruttando la suddetta identità? La risposta in generale è no, visto che non c'è niente che ci garantisca il soddisfacimento degli assiomi di prodotto scalare.
Il prof. c'ha dato come esercizio: dato uno spazio di Banach $B$ in cui vale l'identità del parallelogramma, mostrare che esso è uno spazio di Hilbert.
Allora: sfrutto l'identità del parallelogramma e di polarizzazione per definire il prodotto scalare:
$(x,y)=frac{|x|^2+|y|^2-|x-y|^2}{2}$
mostriamo che è prodotto scalare: tutto risulta "ovvio" dalla definizione, tranne la linearità (basta dimostrarla sulla prima variabile, tanto ho mostrato che è simmetrico), che "non mi viene". Fin'ora in effetti però non ho sfruttato il fatto che ho un Banach, quindi sicuramente sta lì il punto... Come posso fare?
Risposte
No, direi che il fatto che è un Banach serve per la completezza dello spazio che ottieni, non per la linearità.
Se non ricordo male la dimostrazione della linearità è un po' "tricky" (ma questa roba l'ho fatta quasi 3 anni fa...)
Se non ricordo male la dimostrazione della linearità è un po' "tricky" (ma questa roba l'ho fatta quasi 3 anni fa...)
Posto qualche dettaglio della mia dimostrazione..
Visto che vale l'identità del parallelogramma ho che
$|x+y|^2=2|x|^2+2|y|^2-|x-y|^2$
definisco (e l'uguaglianza discende da quanto scritto sopra)
$(x,y):=frac{|x+y|^2-|x-y|^2}{4}=frac{|x|^2+|y|^2-|x-y|^2}{2}$
1) immediatamente $(x,x)>=0$ e $(x,x)=0<=>x=0$
2) immediatamente $(x,y)=(y,x)$
3) linearità: sia $alpha!=0$ (per $alpha=0$ è vera)
ottengo: $(alphax,y)=frac{|alphax|^2+|y|^2-|alphax-y|^2}{2}=alpha^2frac{|x|^2+|y/(alpha)|^2-|x-y/(alpha)|^2}{2}$
$=alpha^2(x,y/alpha)$
ma a questo punto non riesco ad ottenere altro.
E non oso cimentarmi nella linearità rispetto alla somma, se già non ottengo risultati così.. del resto non so se ho qualcos'altro da sfruttare..perciò ho pensato a Banach..
Visto che vale l'identità del parallelogramma ho che
$|x+y|^2=2|x|^2+2|y|^2-|x-y|^2$
definisco (e l'uguaglianza discende da quanto scritto sopra)
$(x,y):=frac{|x+y|^2-|x-y|^2}{4}=frac{|x|^2+|y|^2-|x-y|^2}{2}$
1) immediatamente $(x,x)>=0$ e $(x,x)=0<=>x=0$
2) immediatamente $(x,y)=(y,x)$
3) linearità: sia $alpha!=0$ (per $alpha=0$ è vera)
ottengo: $(alphax,y)=frac{|alphax|^2+|y|^2-|alphax-y|^2}{2}=alpha^2frac{|x|^2+|y/(alpha)|^2-|x-y/(alpha)|^2}{2}$
$=alpha^2(x,y/alpha)$
ma a questo punto non riesco ad ottenere altro.
E non oso cimentarmi nella linearità rispetto alla somma, se già non ottengo risultati così.. del resto non so se ho qualcos'altro da sfruttare..perciò ho pensato a Banach..
"Gaal Dornick":
Il prof. c'ha dato come esercizio: dato uno spazio di Banach $B$ in cui vale l'identità del parallelogramma, mostrare che esso è uno spazio di Hilbert.
Ti basta dimostrare che una norma è hilbertiana, cioè indotta da un prodotto scalare, se e solo se vale l'identità del parallelogramma.
La dimostrazione $||\cdot|| " è indotta da un prodotto scalare " \implies "vale l'identità del parallelogramma"$ è banale (basta scrivere la norma in termini di prodotto scalare), per dimostrare l'implicazione inversa guarda qui, pagine 5 e 6.
Ora hai fatto, visto che $B$ è completo rispetto alla norma data per ipotesi, e visto che tale norma è indotta da un prodotto scalare.
Il problema era proprio quello, che non aveva finito di dimostrare che è un prodotto scalare.
La dim che hai tu è la stessa che mi ricordavo io (letta a suo tempo sul Bose, libro orrendo...)
La dim che hai tu è la stessa che mi ricordavo io (letta a suo tempo sul Bose, libro orrendo...)
Fantastico. Io avevo provato a dimostrare l'omogeneità, visto che "di solito" è più ovvia della linearità...e invece ho fatto male!Grazie mille..effettivamente l'avevo cercata su qualche libro ma invano..
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