Ricerca valori reali che verifichino una disuguaglianza
Buongiorno,
vi seguo da tempo anche se questo è il mio primo post. Cercherò di essere chiara e coincisa. Ho un problema con un esercizio di analisi I che ahimè ha un risultato diverso da quel che ottengo. L'esercizio richiede di calcolare per quali valori di \( x\in\mathbb{R} \) è verificata la seguente disuguaglianza :
\[ \sqrt{-x^2 +4x +5 }\geq x-2 \]
Vi spiego come lo risolverei io :
1)per prima cosa pongo la espressione sotto la radice positiva, risolvendola trovo due radici \( x_1=-1 , x_2=5 \) La funzione è positiva solo nell'intervallo compreso tra i due valori;
2)inoltre \( 0\geq x-2 \) e quindi \( x\leq 2 \);
3)risolvo la diseguaglianza elevando al quadrato e portando tutti i termini a sinistra, ottengo la seguente quadratica
\[ x^2- 4x -\frac{1}{2} \leq 0 \]
che ha come radici \( x_1=2+ \frac{3}{2}\sqrt{2} \), \( x_2=2- \frac{3}{2}\sqrt{2} \) e la funzione risulta essere negativa nell'intervallo interno ai due valori;
4)unendo i tre punti precedenti, e tracciando il grafico del segno della funzione quel che ottengo è che l'intervallo cercato è
\[ x \in [2-\frac{3}{2}\sqrt{2},2]\cup [2+\frac{3}{2}\sqrt{2},5] \]
mentre la soluzione corretta risulta essere
\[ x \in [-1,2+\frac{3}{2}\sqrt{2}] \]
Qualcuno ha la pazienza di dirmi dove sbaglio? Vi ringrazio in anticipo.
G.
vi seguo da tempo anche se questo è il mio primo post. Cercherò di essere chiara e coincisa. Ho un problema con un esercizio di analisi I che ahimè ha un risultato diverso da quel che ottengo. L'esercizio richiede di calcolare per quali valori di \( x\in\mathbb{R} \) è verificata la seguente disuguaglianza :
\[ \sqrt{-x^2 +4x +5 }\geq x-2 \]
Vi spiego come lo risolverei io :
1)per prima cosa pongo la espressione sotto la radice positiva, risolvendola trovo due radici \( x_1=-1 , x_2=5 \) La funzione è positiva solo nell'intervallo compreso tra i due valori;
2)inoltre \( 0\geq x-2 \) e quindi \( x\leq 2 \);
3)risolvo la diseguaglianza elevando al quadrato e portando tutti i termini a sinistra, ottengo la seguente quadratica
\[ x^2- 4x -\frac{1}{2} \leq 0 \]
che ha come radici \( x_1=2+ \frac{3}{2}\sqrt{2} \), \( x_2=2- \frac{3}{2}\sqrt{2} \) e la funzione risulta essere negativa nell'intervallo interno ai due valori;
4)unendo i tre punti precedenti, e tracciando il grafico del segno della funzione quel che ottengo è che l'intervallo cercato è
\[ x \in [2-\frac{3}{2}\sqrt{2},2]\cup [2+\frac{3}{2}\sqrt{2},5] \]
mentre la soluzione corretta risulta essere
\[ x \in [-1,2+\frac{3}{2}\sqrt{2}] \]
Qualcuno ha la pazienza di dirmi dove sbaglio? Vi ringrazio in anticipo.
G.
Risposte
${(x-2<0),(-x^2+4x+5>=0):}\ \ vv\ \ {(x-2>=0),(-x^2+4x+5>=(x-2)^2):}$
ok quindi non sapendo se il segno di \( x-2 \) è positivo o negativo imposto due sistemi per i due casi. valuto per ogni sistema qual'è l'intervallo che soddisfa la richiesta ed in questo casò avrò da -1 a 2 per il primo, e da 2 a \( 2+\frac{3}{2} \sqrt{2} \) per il secondo. Unendo infine le due condizioni ottengo proprio l'intervallo che cercavo.
Grazie axpgn
ora ho capito
Grazie axpgn
ora ho capito
Questo è il metodo std per QUESTO $sqrt(A(x))>=B(x)$ tipo di disequazioni irrazionali ...
Generalizzando ${(B(x)<0),(A(x)>=0):}\ \ vv\ \ {(B(x)>=0),(A(x)>=(B(x))^2):}$
Generalizzando ${(B(x)<0),(A(x)>=0):}\ \ vv\ \ {(B(x)>=0),(A(x)>=(B(x))^2):}$
Esercizio di analisi 1? Ma direi che è una disequazione di seconda superiore...
"Vulplasir":
Esercizio di analisi 1? Ma direi che è una disequazione di seconda superiore...
Beh il programma di analisi riprende quanto affrontato alle superiori, così come qualsiasi altra materia seria all'università cerca di ripartire dalle basi. Ovviamente l'argomento è stato affrontato in una quantità minima di tempo. Contento?
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