Ricerca punti stazionari
Salve. Non riesco a trovare un punto stazionario, che però risulta esserci verificando con Wolframalpha.
La funzione è $f=x^2y+xy^2-x^2-x-4y-2y^2+6$. Impostando le condizioni si ha:
$\{(2xy+y^2-2x-1=0), (x^2+2xy-4-4y=0):}$
Ho raccolto $x$ nella prima equazione, ottenendo: $x=-((y+1))/2$. Sostituendo questo nella seconda equazione ho ottenuto $y_1=-5$ e $y_2=-1$ che ri-sostituiti nella prima mi hanno restituito rispettivamente $x_1=2$ e $x_2=-0$. Ho dunque $A(2,-5)$ e $B(0,-1)$. Poi, sono tornato al sistema iniziale, facendo il contrario: ho raccolto $y$ nella seconda equazione, ottenendo $y=-((x+2))/2$ che sostituito nella prima equazione mi ha restituito i valori $x_2=0$ e $x_4=-4$. Questi, ri-sostituiti nella seconda mi hanno restituito, rispettivamente $y_2=-1$ e $y_4=1$. Ho così ottenuto $C(-4,1)$. Non riesco tuttavia a trovare un quarto punto, che secondo Wolframalpha c'è.
In effetti, ricorrendo a Wolframalpha, vedo che spesso qualche punto mi sfugge, ma come faccio a trovarlo?
La funzione è $f=x^2y+xy^2-x^2-x-4y-2y^2+6$. Impostando le condizioni si ha:
$\{(2xy+y^2-2x-1=0), (x^2+2xy-4-4y=0):}$
Ho raccolto $x$ nella prima equazione, ottenendo: $x=-((y+1))/2$. Sostituendo questo nella seconda equazione ho ottenuto $y_1=-5$ e $y_2=-1$ che ri-sostituiti nella prima mi hanno restituito rispettivamente $x_1=2$ e $x_2=-0$. Ho dunque $A(2,-5)$ e $B(0,-1)$. Poi, sono tornato al sistema iniziale, facendo il contrario: ho raccolto $y$ nella seconda equazione, ottenendo $y=-((x+2))/2$ che sostituito nella prima equazione mi ha restituito i valori $x_2=0$ e $x_4=-4$. Questi, ri-sostituiti nella seconda mi hanno restituito, rispettivamente $y_2=-1$ e $y_4=1$. Ho così ottenuto $C(-4,1)$. Non riesco tuttavia a trovare un quarto punto, che secondo Wolframalpha c'è.
In effetti, ricorrendo a Wolframalpha, vedo che spesso qualche punto mi sfugge, ma come faccio a trovarlo?
Risposte
Ciao umbe,
Perché hai la tendenza a complicarti così tanto la vita?
Il sistema proposto è il seguente:
$ \{(2xy+y^2-2x-1=0), (x^2+2xy-4-4y=0):} $
Dalla prima equazione $ 2xy+y^2-2x-1=0 $ raccogliendo $2x$ tra il primo ed il terzo termine si ha:
$2x(y - 1) + y^2 - 1 = 0 \implies 2x(y - 1) + (y + 1)(y -1) = 0 \implies (y - 1)(2x + y + 1) = 0 $
Da questa si ha subito $y = 1 $ e $ y = - 2x - 1 $. Sostituendo $y = 1 $ nella seconda equazione si ha:
$x^2+2x-8=0 \implies (x + 4)(x - 2) = 0 \implies x_1 = -4, x_2 = 2 $
Sostituendo $ y = - 2x - 1 $ nella seconda si ha:
$ x^2 + 2x(-2x -1) - 4 - 4(-2x - 1) = 0 \implies x^2 - 4x^2 - 2x - 4 + 8x + 4 = 0 \implies $
$ \implies - 3x^2 + 6x = 0 \implies x(x - 2) = 0 \implies x_3 = 0, x_4 = x_2 = 2 $
Usando le tue notazioni in definitiva si ottengono i $4$ punti seguenti:
$ C(- 4, 1), D(2, 1), B(0, - 1), A(2, - 5) $
Perché hai la tendenza a complicarti così tanto la vita?
Il sistema proposto è il seguente:
$ \{(2xy+y^2-2x-1=0), (x^2+2xy-4-4y=0):} $
Dalla prima equazione $ 2xy+y^2-2x-1=0 $ raccogliendo $2x$ tra il primo ed il terzo termine si ha:
$2x(y - 1) + y^2 - 1 = 0 \implies 2x(y - 1) + (y + 1)(y -1) = 0 \implies (y - 1)(2x + y + 1) = 0 $
Da questa si ha subito $y = 1 $ e $ y = - 2x - 1 $. Sostituendo $y = 1 $ nella seconda equazione si ha:
$x^2+2x-8=0 \implies (x + 4)(x - 2) = 0 \implies x_1 = -4, x_2 = 2 $
Sostituendo $ y = - 2x - 1 $ nella seconda si ha:
$ x^2 + 2x(-2x -1) - 4 - 4(-2x - 1) = 0 \implies x^2 - 4x^2 - 2x - 4 + 8x + 4 = 0 \implies $
$ \implies - 3x^2 + 6x = 0 \implies x(x - 2) = 0 \implies x_3 = 0, x_4 = x_2 = 2 $
Usando le tue notazioni in definitiva si ottengono i $4$ punti seguenti:
$ C(- 4, 1), D(2, 1), B(0, - 1), A(2, - 5) $
Uhm... perché come ho fatto io non andava bene?
Se ti mancava un punto...
forse c'è qualcosa che ti sfugge, actually.
forse c'è qualcosa che ti sfugge, actually.
Troppe ri-sostituzioni...
Se posso darti un consiglio, per questo tipo di problemi, ma anche più in generale, cerca di essere più lineare nel ragionamento: trovi un valore di $y$ in un'equazione, lo sostituisci nella seconda equazione e trovi tutti gli $x$ corrispondenti; ne trovi un altro, lo sostituisci nella seconda equazione e trovi tutti gli $x$ corrispondenti...
Se posso darti un consiglio, per questo tipo di problemi, ma anche più in generale, cerca di essere più lineare nel ragionamento: trovi un valore di $y$ in un'equazione, lo sostituisci nella seconda equazione e trovi tutti gli $x$ corrispondenti; ne trovi un altro, lo sostituisci nella seconda equazione e trovi tutti gli $x$ corrispondenti...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo