Ricerca punti fissi
Salve,
Ho questa funzione
$ f:Xrarr X $
f(x)=\begin{cases} (\sqrt{1-||x||^2},x_1,x_2,...,x_n,... )se ||x||\leq1 \\ (2-||x||)f(x/||x||) se 1\leq ||x||\leq 2 \end{cases}
dove $ X $ è la palla di raggio $ 2$ centrata nell'origine nello spazio $ l ^2 $.
Devo dimostrare che questa funzione non ha punti fissi.
Per $ ||x||<=1$ non ci sono problemi.
Il mio problema è quando $ 1<=||x||<=2$.
In questo caso so che $(2-||x||)<=0$? Cosa posso concludere?
Ho questa funzione
$ f:Xrarr X $
f(x)=\begin{cases} (\sqrt{1-||x||^2},x_1,x_2,...,x_n,... )se ||x||\leq1 \\ (2-||x||)f(x/||x||) se 1\leq ||x||\leq 2 \end{cases}
dove $ X $ è la palla di raggio $ 2$ centrata nell'origine nello spazio $ l ^2 $.
Devo dimostrare che questa funzione non ha punti fissi.
Per $ ||x||<=1$ non ci sono problemi.
Il mio problema è quando $ 1<=||x||<=2$.
In questo caso so che $(2-||x||)<=0$? Cosa posso concludere?
Risposte
Ma a me pare che \(o\) sia un punto fisso... Sbaglio?
P.S.: C'è un errore di battitura nel primo caso.
P.S.: C'è un errore di battitura nel primo caso.
ok,corretto.
Ah, ecco...Allora come non detto, \(o\) non è fisso.
Ad ogni modo, se \(|x|\leq 2\) allora \(2-|x|\geq 0\).
Ora, calcolando esplicitamente \(|f(x)|\) per \(1\leq |x|\leq 2\), si trova \(|f(x)|=2-|x|\), sicché un punto può essere fisso solo se ha \(|x|=1\); d'altra parte, di punti di norma unitaria che soddisfano la equazione di punto fisso \(x=f(x)\) non ce ne sono.
Ad ogni modo, se \(|x|\leq 2\) allora \(2-|x|\geq 0\).
Ora, calcolando esplicitamente \(|f(x)|\) per \(1\leq |x|\leq 2\), si trova \(|f(x)|=2-|x|\), sicché un punto può essere fisso solo se ha \(|x|=1\); d'altra parte, di punti di norma unitaria che soddisfano la equazione di punto fisso \(x=f(x)\) non ce ne sono.
allora, devo risolvere l'equazione
$x=(2-||x||)f(\frac{x}{||x||} )$
come faccio a trovare che
$ ||f(x)||=2-||x|| $?
$x=(2-||x||)f(\frac{x}{||x||} )$
come faccio a trovare che
$ ||f(x)||=2-||x|| $?
Calcolo esplicito, usando la legge di assegnazione di \(f\).
Cioè?
Scrivendo esplicitamente \(|f(x)|^2\) come somma dei quadrati delle coordinate del vettore \(f(x)\).
ma se scrivo
$|f(x)|^2=x_1^2+x_2^2+...+x_n^2+...$
cosa posso dedurne?
$|f(x)|^2=x_1^2+x_2^2+...+x_n^2+...$
cosa posso dedurne?
Mmmm...
Usando la legge di assegnazione di \(f\) hai:
\[
\begin{split}
|f(x)|^2 &= \left| (2-|x|)\ f\left( \frac{x}{|x|}\right)\right|^2 \\
&= (2-|x|)^2\ \left| f\left( \frac{x}{|x|}\right)\right|^2 \\
&= (2-|x|)^2\ \left( \left(1-\left| \frac{x}{|x|} \right|^2\right)^2 + \sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|^2}{|x|^2}\right) \\
&= (2-|x|)^2\ \Bigg( (1-1)^2 + \frac{1}{|x|^2}\ \underbrace{\sum_{n=1}^\infty |x_n|^2}_{=|x|^2}\Bigg) \\
&= (2-|x|)^2
\end{split}
\]
quindi:
\[
|f(x)|=2-|x|\; .
\]
Ogni eventuale punto fisso di \(f\) con \(1< |x|\leq 2\) deve dunque soddisfare la condizione \(|x|=|f(x)|=2-|x|\), ossia \(|x|=1\), ma ciò è assurdo.
Dato che il caso di assenza di punti fissi per \(|x|\leq 1\) era archiviato da prima, puoi ben dire che \(f\) non ha punti uniti in \(X\).
Usando la legge di assegnazione di \(f\) hai:
\[
\begin{split}
|f(x)|^2 &= \left| (2-|x|)\ f\left( \frac{x}{|x|}\right)\right|^2 \\
&= (2-|x|)^2\ \left| f\left( \frac{x}{|x|}\right)\right|^2 \\
&= (2-|x|)^2\ \left( \left(1-\left| \frac{x}{|x|} \right|^2\right)^2 + \sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|^2}{|x|^2}\right) \\
&= (2-|x|)^2\ \Bigg( (1-1)^2 + \frac{1}{|x|^2}\ \underbrace{\sum_{n=1}^\infty |x_n|^2}_{=|x|^2}\Bigg) \\
&= (2-|x|)^2
\end{split}
\]
quindi:
\[
|f(x)|=2-|x|\; .
\]
Ogni eventuale punto fisso di \(f\) con \(1< |x|\leq 2\) deve dunque soddisfare la condizione \(|x|=|f(x)|=2-|x|\), ossia \(|x|=1\), ma ciò è assurdo.
Dato che il caso di assenza di punti fissi per \(|x|\leq 1\) era archiviato da prima, puoi ben dire che \(f\) non ha punti uniti in \(X\).
mi ero persa... 
grazie per la tua pazienza
grazie per la tua pazienza
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