Ricerca massimo e minimo funzioni di due variabili...
Salve a tutti ragazzi, ho parecchi dubbi sul come muovermi nella ricerca di massimi e minimi relativi di funzioni come
f(x,y)=(x^2+y^2-2)*e^(x^2+y^2-2)... Applicando la teoria si trova in (0,0) un massimo relativo, ma gli altri punti in cui si annullano le derivate parziali prime hanno hessiano nullo e non potendo applicare il metodo grafico (lo studio del segno nell'intorno di ogni punto) non so proprio come agire... Ho letto un pò su internet e ho visto che alcuni suggeriscono di studiare prima la funzione f(x)=t*e^t e poi porre gli eventuali massimi o minimi uguali a x^2+y^2-2... Ho letto ancora che potrebbe essere utile riferirsi ad un fascio uscente dal punto stazionario o di altri metodi che, comunque, il mio prof non ha neanche accennato... Inoltre calcolando al soluzione su Wolfram, ho notato che i minimi relativi hanno coordinate totalmente diverse da quelli che avrei trovato... Chiedo aiuto... e grazie in anticipo!
f(x,y)=(x^2+y^2-2)*e^(x^2+y^2-2)... Applicando la teoria si trova in (0,0) un massimo relativo, ma gli altri punti in cui si annullano le derivate parziali prime hanno hessiano nullo e non potendo applicare il metodo grafico (lo studio del segno nell'intorno di ogni punto) non so proprio come agire... Ho letto un pò su internet e ho visto che alcuni suggeriscono di studiare prima la funzione f(x)=t*e^t e poi porre gli eventuali massimi o minimi uguali a x^2+y^2-2... Ho letto ancora che potrebbe essere utile riferirsi ad un fascio uscente dal punto stazionario o di altri metodi che, comunque, il mio prof non ha neanche accennato... Inoltre calcolando al soluzione su Wolfram, ho notato che i minimi relativi hanno coordinate totalmente diverse da quelli che avrei trovato... Chiedo aiuto... e grazie in anticipo!
Risposte
Ho provato a svolgerlo... Chiedo se ho operato correttamente... La funzione di partenza era
f(x,y)= (x^2+y^2-2)*e^(x^2+y^2-2)
Posto t(x,y)=x^2+y^2-2 si ha f(t)=t*e^t
Studio la funzione f(t)=t*e^t
-Dominio: R2
-Derivata prima: f'(t)=e^t+t*e^t=e^t*(1+t)
e^t*(1+t)>=0
e^t>=0 ad ogni t appartenente ad R
t>=-1
Dal grafico dei segni si ottiene che in -1 la funzione ha un minimo.
Dalla relazione t=x^2+y^2-2 segue -1=x^2+y^2-2 e, quindi, che la f(x,y) ha un minimo in ogni punto appartenente alla circonferenza di raggio 1 e centro l'origine.
Studio la funzione t(x,y)=x^2+y^2-2
-Dominio: R2
-Derivate parziali prime: tx(x,y)=2x ty(x,y)=2y
Ponendo le due derivate uguali a zero e mettendo le due equazioni a sistema si ottiene il punto O(0,0)
Essendo txx(x,y)=2 tyy(x,y)=2 e txy(x,y)=0 si ottiene H(0,0)=4>0. Il punto O è di minimo relativo per t(x,y).
Poiché per t>=-1 la funzione f(t) è crescente segue che O(0,0) è di massimo relativo per la funzione f(t) e, quindi, per la funzione f(x,y).
Ricapitolando O(0,0) punto di massimo relativo e l'insieme dei punti appartenenti a x^2+y^2-1=0 punti di minimo relativo per f(x,y)... è corretto?
f(x,y)= (x^2+y^2-2)*e^(x^2+y^2-2)
Posto t(x,y)=x^2+y^2-2 si ha f(t)=t*e^t
Studio la funzione f(t)=t*e^t
-Dominio: R2
-Derivata prima: f'(t)=e^t+t*e^t=e^t*(1+t)
e^t*(1+t)>=0
e^t>=0 ad ogni t appartenente ad R
t>=-1
Dal grafico dei segni si ottiene che in -1 la funzione ha un minimo.
Dalla relazione t=x^2+y^2-2 segue -1=x^2+y^2-2 e, quindi, che la f(x,y) ha un minimo in ogni punto appartenente alla circonferenza di raggio 1 e centro l'origine.
Studio la funzione t(x,y)=x^2+y^2-2
-Dominio: R2
-Derivate parziali prime: tx(x,y)=2x ty(x,y)=2y
Ponendo le due derivate uguali a zero e mettendo le due equazioni a sistema si ottiene il punto O(0,0)
Essendo txx(x,y)=2 tyy(x,y)=2 e txy(x,y)=0 si ottiene H(0,0)=4>0. Il punto O è di minimo relativo per t(x,y).
Poiché per t>=-1 la funzione f(t) è crescente segue che O(0,0) è di massimo relativo per la funzione f(t) e, quindi, per la funzione f(x,y).
Ricapitolando O(0,0) punto di massimo relativo e l'insieme dei punti appartenenti a x^2+y^2-1=0 punti di minimo relativo per f(x,y)... è corretto?
Uppppp
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