Ricerca massimi i minimi assoluti
Trovare i massimi i minimi assoluti della funzione:
$ Ricerca massimi f(x,y,z)=e^(1/(x+y+z+3)) $
nel dominio D=( $ x^(2)+y^(2)+z^(2)<=1 $ )
Mi date una mano a svolgere l'esercizio?
$ Ricerca massimi f(x,y,z)=e^(1/(x+y+z+3)) $
nel dominio D=( $ x^(2)+y^(2)+z^(2)<=1 $ )
Mi date una mano a svolgere l'esercizio?
Risposte
puoi procedere cosi: anzitutto, osservando che la funzione definita da
\[f(x,y,z,):=e^{\frac{1}{x+y+z+3}},\]
è $C^{\infty}(\RR^3)$ quindi sempre differenziabile, e che essendo l'insieme
\[D:=\left\{(x,y,z,)\in \mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2\le1\right\}\]
compatto, cioè chiuso e limitato, per il teorema di Weierstrass la funzione ammetterà sicuramente punti di massimo e minimo assoluti su $D;$ tali punti andranno allora cercati tra i punti interni dell'insieme $D$ dove il gradiente di $f$ si annulla e sulla frontiera di $\partial D$ dell'insieme $D.$
\[f(x,y,z,):=e^{\frac{1}{x+y+z+3}},\]
è $C^{\infty}(\RR^3)$ quindi sempre differenziabile, e che essendo l'insieme
\[D:=\left\{(x,y,z,)\in \mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2\le1\right\}\]
compatto, cioè chiuso e limitato, per il teorema di Weierstrass la funzione ammetterà sicuramente punti di massimo e minimo assoluti su $D;$ tali punti andranno allora cercati tra i punti interni dell'insieme $D$ dove il gradiente di $f$ si annulla e sulla frontiera di $\partial D$ dell'insieme $D.$
Ciao, questo tipo di problema si chiama "ottimizzazione vincolata di una funzione f in un dominio D compatto". Occhio al "compatto"; intanto, come dice Noisemaker, osservi che siccome la tua f $ in C^{\infty}(\RR^3) $ ed il dominio è compatto, ci saranno per forza un max ed un min assoluti, grazie al buon W. Il punto è come trovarli.
Essenzialmente per risolvere il problema ci sono due strade standard. Considera che quello che dico vale in tutti gli $RR^n$ ma, per evitare di scrivere un sacco, io scrivo il sistema per $RR^2$. Comunque si estende subito ad $RR^3$.
a) strada dritta e sicura: affronti di petto la funzione applicando il teorema di Lagrange. Tale teorema dice, per sommi capi:
data f funzione differenziabile in un dominio D compatto di $RR^2$, se F=0 è l'equazione del vincolo, allora esiste un numero reale $ lambda != 0$ per cui il sistema
$ { ( (partial f )/ (partial x) = lambda (partial F )/ (partial x) ),( (partial f )/ (partial y) = lambda (partial F )/ (partial y) ),( F=0 ):} $
ammette soluzioni in $RR^(2+1)$, e tali soluzioni sono tutti e soli gli estremanti della funzione f col vincolo F. Dico $RR^(2+1)$ (cioè $RR^3$ ma volevo mettere l'accento su quel "+1") perchè ad ogni punto è associato un $lambda$ che per il tuo problema è inutile, una volta risolto il sistema. Come capirai da solo, il problema è appunto risolvere il sistema, operazione non sempre banale visto che, purchè siano differenziabili, le funzioni F ed f possono contenere le peggiori schifezze. Comunque negli esercizi questo non capita quasi mai. è comunque una bella botta di conti, ma almeno sai cosa fare.
Visto che siamo in $RR^3$ ed f è un pochino antipatica da derivare credo che per il tuo esercizio sia questa la strada. Comunque ti indico anche il secondo modo che ho imparato ad analisi 3, magari ti sarà utile in futuro.
b) la scorciatoia, meno contosa ma non sempre applicabile. A volte, ad esempio se il vincolo è costituito da una o più curve regolari (in $RR^2$ troverai la circonferenza e le sue parenti coniche in testa, ma a volte anche la sfera in $RR^3$ si può gestire così), puoi tentare di parametrizzare il vincolo e studiare poi due problemi separati: il primo nella parte interna del dominio, che essendo un aperto presenta un problema di ottimizzazione libera, ed il secondo sul bordo stesso, il che significa studiare la funzione f "proiettata" sul bordo del dominio.
All'atto pratico, ciò significa prendere la variabile (o le variabili) espresse mediante parametro/i e sostituirle nella funzione f, per poi studiare questa nuova funzione. Il vantaggio è che, grazie alla parametrizzazione, hai eliminato una o più variabili e quindi il problema si riduce.
Questa strategia è molto potente se funzione da ottimizzare e vincolo sono in $RR^2$ (perchè così ti ritrovi ad ottimizzare una funzione in $RR$... bella la vita così). Purtroppo in questo caso mi sembra che parametrizzare la sfera e sostituire in f porti a complicare le cose ancora di più: magari usando una parametrizzazione furba questo non capita, ora però non mi viene in mente.
ah, ovviamente una volta trovati i punti devi scoprire se sono massimi, minimi o altre cose più complicate. Suppongo tu conosca il metodo standard con l'hessiana ed i trucchetti che insegnano ai corsi di analisi. Nel caso non fosse così, scrivilo e vedrò di aiutarti. Scrivi anche se trovi delle castronerie assurde, se mi sono spiegato male e quindi non hai capito qualcosa o se vuoi inviarmi tanti soldi per qualche o nessun motivo in particolare (in questo caso però in privato
)
Essenzialmente per risolvere il problema ci sono due strade standard. Considera che quello che dico vale in tutti gli $RR^n$ ma, per evitare di scrivere un sacco, io scrivo il sistema per $RR^2$. Comunque si estende subito ad $RR^3$.
a) strada dritta e sicura: affronti di petto la funzione applicando il teorema di Lagrange. Tale teorema dice, per sommi capi:
data f funzione differenziabile in un dominio D compatto di $RR^2$, se F=0 è l'equazione del vincolo, allora esiste un numero reale $ lambda != 0$ per cui il sistema
$ { ( (partial f )/ (partial x) = lambda (partial F )/ (partial x) ),( (partial f )/ (partial y) = lambda (partial F )/ (partial y) ),( F=0 ):} $
ammette soluzioni in $RR^(2+1)$, e tali soluzioni sono tutti e soli gli estremanti della funzione f col vincolo F. Dico $RR^(2+1)$ (cioè $RR^3$ ma volevo mettere l'accento su quel "+1") perchè ad ogni punto è associato un $lambda$ che per il tuo problema è inutile, una volta risolto il sistema. Come capirai da solo, il problema è appunto risolvere il sistema, operazione non sempre banale visto che, purchè siano differenziabili, le funzioni F ed f possono contenere le peggiori schifezze. Comunque negli esercizi questo non capita quasi mai. è comunque una bella botta di conti, ma almeno sai cosa fare.
Visto che siamo in $RR^3$ ed f è un pochino antipatica da derivare credo che per il tuo esercizio sia questa la strada. Comunque ti indico anche il secondo modo che ho imparato ad analisi 3, magari ti sarà utile in futuro.
b) la scorciatoia, meno contosa ma non sempre applicabile. A volte, ad esempio se il vincolo è costituito da una o più curve regolari (in $RR^2$ troverai la circonferenza e le sue parenti coniche in testa, ma a volte anche la sfera in $RR^3$ si può gestire così), puoi tentare di parametrizzare il vincolo e studiare poi due problemi separati: il primo nella parte interna del dominio, che essendo un aperto presenta un problema di ottimizzazione libera, ed il secondo sul bordo stesso, il che significa studiare la funzione f "proiettata" sul bordo del dominio.
All'atto pratico, ciò significa prendere la variabile (o le variabili) espresse mediante parametro/i e sostituirle nella funzione f, per poi studiare questa nuova funzione. Il vantaggio è che, grazie alla parametrizzazione, hai eliminato una o più variabili e quindi il problema si riduce.
Questa strategia è molto potente se funzione da ottimizzare e vincolo sono in $RR^2$ (perchè così ti ritrovi ad ottimizzare una funzione in $RR$... bella la vita così). Purtroppo in questo caso mi sembra che parametrizzare la sfera e sostituire in f porti a complicare le cose ancora di più: magari usando una parametrizzazione furba questo non capita, ora però non mi viene in mente.
ah, ovviamente una volta trovati i punti devi scoprire se sono massimi, minimi o altre cose più complicate. Suppongo tu conosca il metodo standard con l'hessiana ed i trucchetti che insegnano ai corsi di analisi. Nel caso non fosse così, scrivilo e vedrò di aiutarti. Scrivi anche se trovi delle castronerie assurde, se mi sono spiegato male e quindi non hai capito qualcosa o se vuoi inviarmi tanti soldi per qualche o nessun motivo in particolare (in questo caso però in privato
)
In questo altro esercizio, i cui devo trovare i massimi e minimi assoluti della funzione f in D, procedo nello stesso modo?
$ f(x,y)=(x-3)^2*(y-1) $ e D=( $ (y-1)<=-(x-3)^2+1 $ ( la (y-1) nel dominio D è in valore assoluto e non tra parentesi tonde, non sapevo come metterlo )
$ f(x,y)=(x-3)^2*(y-1) $ e D=( $ (y-1)<=-(x-3)^2+1 $ ( la (y-1) nel dominio D è in valore assoluto e non tra parentesi tonde, non sapevo come metterlo )
si, il metodo è sempre quello. Osserva che avendo il modulo dovresti a priori distinguere i due casi $y-1 >=0$ e $y-1<0$ e studiarli separatamente. Qui credo che sia più comodo usare il secondo metodo:
partiamo dal caso $y-1>=0$, l'altro è analogo.
il modulo scompare e quindi la disequazione diventa $y<=2-(x-3)^2$
Questo dice che D è compreso tra un arco di parabola e la retta y=1, se lo disegni vedrai che è così. Quindi devi fare 3 cose:
a)calcolare le derivate parziali di f e cercare gli estremanti come se fossero liberi.
b) sostituire y=1 in f e studiarla. Siccome f è identicamente nulla in y=1 ed è sempre positiva per y>1, tutti i punti con y=1 sono dei minimi.
c) sostituire $y=2-(x-3)^2$ in f e studiarla. Diventa una funzione ad una sola variabile, quindi fai la derivata e ne studi il segno.
Tutto ciò va ripetuto nel caso $y-1<0$ e quindi avrai, alla fine, un po' di candidati ad estremante.
Infine prendi tutti i candidati a min e tutti i candidati a max che hai trovato e valuti f in ognuno di loro. Ovviamente, quello che dà il valore minore è il min. Analogamente per il max
partiamo dal caso $y-1>=0$, l'altro è analogo.
il modulo scompare e quindi la disequazione diventa $y<=2-(x-3)^2$
Questo dice che D è compreso tra un arco di parabola e la retta y=1, se lo disegni vedrai che è così. Quindi devi fare 3 cose:
a)calcolare le derivate parziali di f e cercare gli estremanti come se fossero liberi.
b) sostituire y=1 in f e studiarla. Siccome f è identicamente nulla in y=1 ed è sempre positiva per y>1, tutti i punti con y=1 sono dei minimi.
c) sostituire $y=2-(x-3)^2$ in f e studiarla. Diventa una funzione ad una sola variabile, quindi fai la derivata e ne studi il segno.
Tutto ciò va ripetuto nel caso $y-1<0$ e quindi avrai, alla fine, un po' di candidati ad estremante.
Infine prendi tutti i candidati a min e tutti i candidati a max che hai trovato e valuti f in ognuno di loro. Ovviamente, quello che dà il valore minore è il min. Analogamente per il max
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