Ricerca massimi e minimi assoluti vincolati.
Ciao a tutti! Potreste darmi una mano con questo esercizio?
Si cerchino massimi e minimi assoluti della funzione
$f(x,y)=y^(2)+sqrt(1-x^(2))$
ristretta alla circonferenza di centro 0 e di raggio 1.
Grazie.
Si cerchino massimi e minimi assoluti della funzione
$f(x,y)=y^(2)+sqrt(1-x^(2))$
ristretta alla circonferenza di centro 0 e di raggio 1.
Grazie.
Risposte
Beh intanto scriviamo l'equazione della circonferenza di centro l'origine e raggio 1:
\[ x^2 + y^2 = 1 \]
Adesso un modo per procedere è usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Sai di cosa si tratta?
Un altro modo è utilizzare una parametrizzazione, ma in questo caso credo siano più comodi i moltiplicatori.
\[ x^2 + y^2 = 1 \]
Adesso un modo per procedere è usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Sai di cosa si tratta?
Un altro modo è utilizzare una parametrizzazione, ma in questo caso credo siano più comodi i moltiplicatori.
"Berationalgetreal":
Beh intanto scriviamo l'equazione della circonferenza di centro l'origine e raggio 1:
\[ x^2 + y^2 = 1 \]
Adesso un modo per procedere è usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Sai di cosa si tratta?
Un altro modo è utilizzare una parametrizzazione, ma in questo caso credo siano più comodi i moltiplicatori.
Potresti aiutarmi usando la parametrizzazione? Nel caso specifico è richiesta... Grazie
Parametrizziamo la circonferenza in questo modo:
\[ y = \sin (t), \ x = \cos (t) \]
Sostituendo nella funzione di partenza, otteniamo
\[ g(t) = \sin^2 (t) \pm \sin (t) \]
La cui derivata è
\[ g'(t) = 2 \sin (t) \cos (t) \pm \cos (t) \]
Lo studio della derivata non è affatto semplice. Tuttavia, notiamo subito che essa di annulla per $x = \pm \frac {\pi} {2}$ se prendiamo $ t \in [0; 2\pi]$. Non si annulla per nient'altro, come è facile verificare.
Prendiamo dunque questi punti stazionari:
$ P_1 = (0, 1), \ P_2 = (0, -1)$
Ora abbiamo che nella nostra funzione iniziale
\[ f(0, 1) = 2, \ f(0, -1) = 2 \]
Confrontandoli con un altro punto sulla circonferenza, ad esempio $ (\frac {1} {2}; \frac {\sqrt{3}}{2})$, concludiamo che si tratta di punti di massimo assoluto.
\[ y = \sin (t), \ x = \cos (t) \]
Sostituendo nella funzione di partenza, otteniamo
\[ g(t) = \sin^2 (t) \pm \sin (t) \]
La cui derivata è
\[ g'(t) = 2 \sin (t) \cos (t) \pm \cos (t) \]
Lo studio della derivata non è affatto semplice. Tuttavia, notiamo subito che essa di annulla per $x = \pm \frac {\pi} {2}$ se prendiamo $ t \in [0; 2\pi]$. Non si annulla per nient'altro, come è facile verificare.
Prendiamo dunque questi punti stazionari:
$ P_1 = (0, 1), \ P_2 = (0, -1)$
Ora abbiamo che nella nostra funzione iniziale
\[ f(0, 1) = 2, \ f(0, -1) = 2 \]
Confrontandoli con un altro punto sulla circonferenza, ad esempio $ (\frac {1} {2}; \frac {\sqrt{3}}{2})$, concludiamo che si tratta di punti di massimo assoluto.
Grazie!
"Berationalgetreal":
Parametrizziamo la circonferenza in questo modo:
\[ y = \sin (t), \ x = \cos (t) \]
Sostituendo nella funzione di partenza, otteniamo
\[ g(t) = \sin^2 (t) \pm \sin (t) \]
La cui derivata è
\[ g'(t) = 2 \sin (t) \cos (t) \pm \cos (t) \]
Lo studio della derivata non è affatto semplice. Tuttavia, notiamo subito che essa di annulla per $x = \pm \frac {\pi} {2}$ se prendiamo $ t \in [0; 2\pi]$. Non si annulla per nient'altro, come è facile verificare.
Prendiamo dunque questi punti stazionari:
$ P_1 = (0, 1), \ P_2 = (0, -1)$
Ora abbiamo che nella nostra funzione iniziale
\[ f(0, 1) = 2, \ f(0, -1) = 2 \]
Confrontandoli con un altro punto sulla circonferenza, ad esempio $ (\frac {1} {2}; \frac {\sqrt{3}}{2})$, concludiamo che si tratta di punti di massimo assoluto.
è corretto di dire che esistono massimi e minimi assoluti in quanto la restrizione è su un insieme chiuso e limitato come una circonferenza?
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