Ricerca massimi e minimi assoluti in un quadrato

[harrisrock1]

Ciao a tutti sono Fabrizio, sono nuovo nel forum.
Vi scrivo poiché ho riscontrato alcune difficoltà a completare il seguente esercizio:

Ricerca dei massimi e minimi assoluti di una funzione in due variabili

\[f(x,y)=|x+y|-|x^{2}-y^{2}|\]

Nel Dominio (quadrato di vertici) \[(-1,1);(1,1);(-1,-1);(1,-1)\]

ora il procedimento che ho applicato è il seguente :
ho studiato i due moduli in 4 casi, ovvero :
A)\[|x+y|>0 ; |x^{2}-y^{2}|>0\]
B)\[|x+y|>0 ; |x^{2}-y^{2}|<0\]
C)\[|x+y|<0 ; |x^{2}-y^{2}|>0\]
D)\[|x+y|<0 ; |x^{2}-y^{2}|<0\]

quindi dopo aver studiato i moduli in questi 4 casi li ho semplificati, ed ho studiato le 4 funzioni risultanti vedendo se i punti risultanti dal sistema delle derivate prime poste uguali a zero, soddisfano le condizioni di modulo studiate sopra, nei 4 casi.
Ed ho trovato che in tutti e 4 i casi di studio non esistono punti che soddisfano le condizioni di modulo.

Per lo studio sulla frontiera del dominio, ho parametrizzato i 4 segmenti del quadrato in questo modo
\[\{ (1,y)|y\in[-1,1] \}\]
\[\{ (-1,y)|y\in[-1,1] \}\]
\[\{ (x,1)|y\in[-1,1] \}\]
\[\{ (x,-1)|y\in[-1,1] \}\]

e quindi ho sostituito le condizioni \[(1,y);(-1,y);(x,1);(x,-1)\] all'equazione originaria da studiare, CON TUTTI I MODULI.
Quindi il risultato saranno 4 equazioni in una variabile, in X oppure Y da studiare.


E' giusto secondo voi ? scusatemi se sono stato troppo prolisso. Grazie mille

[mr mojo]

io lo risolverei in maniera diversa:
calcoli $grad(f)=0$ e ti trovi i punti stazionario della funzione, fatto questo calcoli l'Hessiana. Sostituisci i punti stazionari nell'Hessiana e ne calcoli per tutti il determinante, se:
1)$detH>0$ e $H(1,1)>0$ hai un minimo
2)$detH>0$ e $H(2,2)<0$ hai un massimo
3)$detH<0$ hai una sella