Ricerca massimi e minimi assoluti di una funzione a più vari

[Nausicaa912]

Mi trovo un po' in difficoltà. Mi sto esercitando su un libro, ma non capisco il procedimento... Vi mostro ciò che ho fatto io:
ho questa funzione
$f(x,y)=x^2+xy+y^2$
devo ricercare i massimi e minimi assoluti nel quadrato
$B={-2<=x<=2 , -2<=y<=2}$

Calcolo le derivate parziali.
$f_x=2x+y$ e $f_y=2y+x$
il gradiente si annulla nel punto $(x,y)=(0,0)$
L'hessiano vale sempre 3, per ogni punto.
Quindi il punto $(0,0)$, siccome $f_(x^2)(0,0)=2$, è un minimo relativo.
Adesso devo studiare la funzione sulla frontiera, giusto? Restringendola ?
Siccome la funzione è simmetrica rispetto a $z$, ciò mi potrebbe aiutare? Non mi riesco ad orientare con due variabili

[Nausicaa912]

nessuno?

[mod="gugo82"]Il thread era ancora in prima pagina, quindi non vedo perchè uppare (cfr. regolamento, 3.4).

Chiudo fino a domani sera.[/mod]

[mod="gugo82"]Riaperto.[/mod]

[Nausicaa912]

"Nausicaa91":nessuno?

ho fatto così...
considerato il lato $y=2$ e $x=2-4t$
quindi
$F(t)=f(2-4t,2)=4+16t^2-16t+4+4-16t=16t^2-24t+12$
la derivata è
$F'(t)=4(8t-6)$
si annulla per $t=3/4$
$F''(3/4)>0$ quindi $t=3/4$ è un minimo per $F$
abbiamo che $(-1,2)$ è un minimo relativo per $f(x,y)$, giusto?
Il minimo assoluto però (0,0), poiché lì la funzione assume il valore minore.
Adesso dovrei considerare gli estremi, poiché questi calcoli valgono solo per i punti interni. Quindi
$f(2,2)=4+4+4=12$ e $f(-2,2)=8$
il massimo assoluto è quindi per $(x,y)=(2,2)$. DOMANDA/DUBBIO : il punto $(-2,2) $non è di massimo assoluto, neanche di minimo assoluto. Ma allora cos'è? non posso sapere se è di minimo o massimo relativo? Se sì, come?
ALTA DOMANDA: devo fare lo stesso procedimento per gli altri tre lati, oppure esiste qualche implicazione logica che mi risparmi altri calcoli? GRazie.

[Sk_Anonymous]

Invece di procedere come al solito, sai per caso lavorare con le curve di livello?
In questo esercizio le curve di livello sono ellissi centrate nell'origine ruotate di 45° rispetto agli assi.
Si possono allora ottenere risultati interessanti.
Anche se queste considerazioni non sono proprio alla portata di tutti.

[Nausicaa912]

"speculor":Invece di procedere come al solito, sai per caso lavorare con le curve di livello?
In questo esercizio le curve di livello sono ellissi centrate nell'origine ruotate di 45° rispetto agli assi.
Si possono allora ottenere risultati interessanti.
Anche se queste considerazioni non sono proprio alla portata di tutti.

Di sicuro non alla mia portata!
Non so neanche cosa siano, sono solo una povera studentessa di ingegneria alle prese con i primi esercizi di analisi 2... tenendo presente le mie poche conoscenze, sapresti aiutarmi?

[Sk_Anonymous]

Io avrei parametrizzato più semplicemente mediante le formule:
x=t y=2 con -2 La tua parametrizzazione mi induce a credere che stai applicando delle formule senza cogliere perfettamente la questione.
In ogni modo i risultati non possono dipendere dalla parametrizzazione. Credo tu volessi scrivere f(-2,2)=4.
Questo punto non è un massimo assoluto in quanto f(2,2)=12.
Potremmo definirlo un massimo relativo assunto sulla frontiera, ma solitamente per estremo relativo si intendono punti interni al dominio che
godono di opportune condizioni di derivabilità: in parole povere, senza dubbio in un intorno del vertice (-2,2) la funzione assume il valore più grande proprio nel vertice e questo valore vale 4, ma poichè è un punto di frontiera e può tranquillamente avere anche derivate parziali diverse da zero, si preferisce non chiamarlo estremo relativo, riservando questo termine ai punti interni al dominio con derivate parziali nulle, non punto di sella chiaramente.
Si potrebbe definire estremo relativo anche quello, ma non ricordo di aver mai trovato un testo che lo facesse.
A questo punto, sfruttando le simmetrie, io andrei a studiare il lato x=t y=-2 con -2

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[Nausicaa912]

Va bene. La mia parametrizzazione, anche se "più complessa nei calcoli" è giusta, vero?
Grazie mille ...
Ma come posso sfruttare le simmetrie? Studiando la funzione su quel lato, ho un massimo assoluto nel punto $(-2.-2)$ dove la funzione assume gli stessi valori del punto $(2,2)$ e un minimo relativo in $(1,-2)$ Questi risultati erano scontati, dal momento che la funzione è pari o sbaglio?

[Sk_Anonymous]

La parametrizzazione è giusta, anche se bisogna indicare l'intervallo di variabilità di t, cosa che mi sembra tu non abbia fatto.
In ogni modo ha veramente poco senso usare quella parametrizzazione e potrebbe essere sanzionato.
Sono d'accordo sul resto del tuo ragionamento.

[Nausicaa912]

$t$ dovrebbe variare in $[0,1]$ a quel punto, giusto?
Un'ultima cosa. Nella tua parametrizzazione hai escluso gli estremi... perché se ad esemipio mi uscisse un valore per $x=2$, non dovrei "considerarlo"? Scusa la poca chiarezza, ma non so come porre la domanda!

[Sk_Anonymous]

L'intervallo è giusto.
Quando consideri la funzione su quel primo lato del quadrato, i punti interni del lato diventano punti interni dell'intervallo nella variabile t e quindi posssono essere studiati con il metodo della derivata.
Ma gli estremi di quel lato sono comunque gli estremi dell'intervallo e quelli vanno calcolati comunque a mano.
Posso anche includere gli estremi nella parametrizzazione, quando derivo però implicitamente sto cercando estremi relativi solo all'interno dell'intervallo.
Il ragionamento vale proprio per le funzioni di una sola variabile.
Se ti chiedo di trovare il codominio di una funzione f(x) definita in un intervallo, dopo aver calcolato eventuali estremi relativi interni all'intervallo e con derivata nulla, per vedere se sono anche estremi assoluti devi calcolare la funzione agli estremi dell'intervallo.
Puoi fare tu un esempio di funzione avente un minimo e un massimo interni che, a seconda dei casi, possono essere e non essere estremi assoluti.
Per esempio, come calcoli il codominio di f(x)=x^3/3 - x nell'intervallo -4<=x<=+4?
Il minimo assoluto e il massimo assoluto sono assunti proprio agli estremi dell'intervallo.
Se cambio opportunamente l'intervallo, allora potrebbere essere estremi assoluti proprio gli estremi interni.
In parole povere, anche nello studio delle funzioni di una sola variabile definite in un intervallo c'è una frontiera, essa è costituita dagli estremi dell'intervallo. Siccome sono solo due punti, mi calcolo la funzione a mano proprio in questi due punti.
Con le funzioni di due variabili, la frontiera è costituita da infiniti punti.
Come posso calcolare a mano la funzione in infiniti punti?
Non posso e allora mi restringo opportunamnte facendo diventare la funzione funzione di una sola variabile.
Ma alla fine, un calcolo a mano dovrò sempre farlo, nel tuo esempio i 4 vertici del quadrato, che essendo in numero finito mi permette di concludere lo studio.

[Nausicaa912]

Wow, che spiegazione! Grazie mille, esaustiva. Quindi se considerato una parametrizzazione in cui t varia ad esempio da 0 ad 1, nel momento in cui la mia derivata in t si annullerà per $t=1$ o $t=0$ io non considererò tale valore, giusto? Scusami, ma voglio essere super sicura )

[Sk_Anonymous]

Dovresti comunque considerare quel valore anche se la derivata non fosse zero, in quanto è un estremo dell'intervallo.
Il fatto che per quel valore la tangente è orizzontale oppure obliqua non è importante.
Se uno studente controlla quel valore solo quando la derivata è nulla compie un grave errore di concetto.
Agli estremi di un intervallo la funzione va calcolata, se la derivata è nulla o meno non importa.