Ricerca inf,sup, maggiorante e minorantedi un insieme
Buon pomeriggio ragazzi ho un problema sulla ricerca dell'inf e del sup di un insieme X, ad esempio:
$X-={n/(2n-1) n in n}$
Ho effettuato questi procedimenti:
1. per $k<=0$ k non è maggiorante.
2. Studio $k>0$ e risolvo $n/(2n-1)$ e dopo alcuni passaggi algebrici arrivo ad $n(2k-1)>=k$
Arrivato qui non saprei cosa fare. Da notare che ho appena iniziato a studiare i minoranti e maggioranti e relative proprietà.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille anticipatamente
$X-={n/(2n-1) n in n}$
Ho effettuato questi procedimenti:
1. per $k<=0$ k non è maggiorante.
2. Studio $k>0$ e risolvo $n/(2n-1)$ e dopo alcuni passaggi algebrici arrivo ad $n(2k-1)>=k$
Arrivato qui non saprei cosa fare. Da notare che ho appena iniziato a studiare i minoranti e maggioranti e relative proprietà.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille anticipatamente
Risposte
Se l'insieme che prendiamo in considerazione e'
X={$n/(2n−1)$ $AA$ n nei naturali}
Allora si puo' notare facilmente che 1 appartiene al tuo insieme (basta prendere n =1)
e tutti gli altri elementi del tuo insieme sono piu' piccoli di 1 perche' numeratore minore del denominatore.
allora 1 e' sup, e in particolare e' max.
in modo anaolgo 0 appartiene al tuo insieme e ogni altro elemento dell'insieme e' maggiore di 0, allora 0 e' inf, (..min)
X={$n/(2n−1)$ $AA$ n nei naturali}
Allora si puo' notare facilmente che 1 appartiene al tuo insieme (basta prendere n =1)
e tutti gli altri elementi del tuo insieme sono piu' piccoli di 1 perche' numeratore minore del denominatore.
allora 1 e' sup, e in particolare e' max.
in modo anaolgo 0 appartiene al tuo insieme e ogni altro elemento dell'insieme e' maggiore di 0, allora 0 e' inf, (..min)
ti ringrazio per la risposta.. però cercavo come matematicamente step by step, ovvero mi serve un metodo per problemi di questo tipo.. puoi aiutarmi???
Grazie anticipatamente
Grazie anticipatamente
. prima di tutto può essere utile cercare di capire a grandi linee ("con le mani") come è fatto l'insieme.
per esempio vedendo un po' di elementi che appartengono a esso.
(per esempio in questo caso potevamo prendere n=0;1;2;3;4 e vedevamo che 0, 1, $2/3$, $4/7$ appartengono all'insieme e poteva venirci in mente di chiederci se i numeri rimanevano minori di 1.
. Alternativamente puoi cercare di ragionare sulla funzione f(x)=$x/(2x-1)$ e con le derivate e limiti (per esempio all'infinito) vedere se ha massimi e minimi , se è limitata. E riportare il tutto, con opportuni ragionamenti facili, sul nostro insieme .
In genere con questi "metodi" si cerca di intuire il risultato e poi si dimostra rigorosamente quello che si è pensato intuitivamente essere vero.
per esempio vedendo un po' di elementi che appartengono a esso.
(per esempio in questo caso potevamo prendere n=0;1;2;3;4 e vedevamo che 0, 1, $2/3$, $4/7$ appartengono all'insieme e poteva venirci in mente di chiederci se i numeri rimanevano minori di 1.
. Alternativamente puoi cercare di ragionare sulla funzione f(x)=$x/(2x-1)$ e con le derivate e limiti (per esempio all'infinito) vedere se ha massimi e minimi , se è limitata. E riportare il tutto, con opportuni ragionamenti facili, sul nostro insieme .
In genere con questi "metodi" si cerca di intuire il risultato e poi si dimostra rigorosamente quello che si è pensato intuitivamente essere vero.
Grazie per la risposta, devo però chiederti se fosse possibile risolvere questo esercizio passo passo senza usare nè limiti nè derivate (sono ancora agli inizi e la prof non ha ancora introdotto questi concetti.), la professoressa risolve questo tipo di esercizi con le disequazioni con parametro k. Però non riesco a capire bene il suo procedimento. Puoi aiutarmi?
Grazie ancora
Grazie ancora
quello che abbiamo fatto e' una dimostrazione passo a passo...
Chiamiamo il nostro inseme $A$
per $n=0$ si ha $ n/(2n-1) =0 $
$1 in A$ perche' per $n=1 \quad n/(2n-1) =1 $
$ n/(2n-1) <1 \quad \foralln>1 $ perche' $n<2n-1 $ $\Leftrightarrow$ $n>1$
Allora $1$ e' max di $A$
$ n/(2n-1) >0 \quad \foralln in N$ e $\quad0 in A$
Allora $0$ e min di $A$
Chiamiamo il nostro inseme $A$
per $n=0$ si ha $ n/(2n-1) =0 $
$1 in A$ perche' per $n=1 \quad n/(2n-1) =1 $
$ n/(2n-1) <1 \quad \foralln>1 $ perche' $n<2n-1 $ $\Leftrightarrow$ $n>1$
Allora $1$ e' max di $A$
$ n/(2n-1) >0 \quad \foralln in N$ e $\quad0 in A$
Allora $0$ e min di $A$
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