Ricerca fonte

[ncant04]

Buonasera a tutti.

Sto cercando la descrizione della cosiddetta "somma vuota", cioè la sommatoria di zero elementi il cui risultato è zero, per mio puro interesse personale.

Non riesco a trovare informazioni in merito nei libri di testo, se non il libro usato come fonte per l'articolo di Wikipedia sopra riportato ("Linear Algebra and Geometry" di David M. Bloom).

Potete aiutarmi? Se avete informazioni scritte in merito, potete indicarmi il testo di riferimento?

Grazie

[gugo82]

Beh, è una convenzione... Niente di misterioso: serve solo a far filare più liscio qualche sporadico discorso.

[megas_archon]

"gugo82":Beh, è una convenzione... Niente di misterioso: serve solo a far filare più liscio qualche sporadico discorso.

Non è una convenzione (se per convenzione si intende una scelta arbitraria), ma non è niente di misterioso: il valore della somma su un insieme vuoto di indici è obbligato a fare zero, dato che uno desidera che[nota]In un gruppo abeliano $A$, ma è sufficiente un monoide cancellativo.[/nota] la somma di elementi \(\sum_{i\in I}a_i\) su una famiglia finita[nota]Se $I$ è infinito questo discorso diventa molto meno ovvio.[/nota] \(I\) di indici sia additiva, cioè valga che
\[\text{se } I = A \cup B, \text{ e } A\cap B=\varnothing, \text{allora } \sum_{i\in I}a_i = \sum_{i\in A}a_i + \sum_{j\in B}a_j\] (questa proprietà è desiderabile, e molto comoda, perché permette di definire induttivamente \(\sum_{i\in\{1,\dots,n,n+1\}} a_i := \left(\sum_{i\in\{1,\dots,n\}} a_i\right) + a_{n+1}\)). Ovviamente non c'è altra scelta che definire l'operazione di sommatoria su una famiglia di indici in modo coerente con la somma come operazione binaria...

Allora, \(\sum_{i\in\varnothing} a_i = \sum_{i\in\varnothing} a_i + \sum_{i\in\varnothing} a_i\), e ponendo \(t:=\sum_{i\in\varnothing} a_i\), se \(t+t=t\), semplificando $t$ da entrambi i lati, si ha \(0=t=\sum_{i\in\varnothing} a_i\).