Ricerca estremi relativi-funzioni a due variabili
Determinare gli estremi relativi delle seguenti funzioni:
$g(x,y)=(x^2+y^2+4x)(x^2+y^2-4 ) e
f(x,y)=ln|g(x,y)|$
Consideriamo la funzione g(x,y) e notiamo che essa è definita in tutto R e ivi dotata di derivate di qualsiasi ordine. Determiniamo le derivate parziali del primo ordine e si ha:
$(∂g)/(∂x)=4(x^3+3x^2+x(y^2-2)+y^2-4)
(∂g)/(∂y)=4y(x^2+2x+y^2-2)$
Quindi in virtù del teorema 5.4.2 cerchiamo i punti che potrebbero essere di massimo o di minimo risovendo il sitema
${ (4(x^3+3x^2+x(y^2-2)+y^2-4)=0 ),( 4y(x^2+2x+y^2-2)=0 ):}$
I punti in cui tale sistema si annulla sono molteplici:
$A=(-1,0),B(-1,3^(1/2) ),C=(-1,-3^(1/2) ),
D=(5^(1/2)-1,0),E=(-5^(1/2)-1,0$
Calcoliamo adesso le derivate seconde e si ha:
$(∂^2 g)/(∂ x^2 )=((x^2+y^2+4x)(x^2+y^2-4))
(∂^2 g)/∂x∂y=8y(x+1)
(∂^2 g)/(∂ y^2 )=4(x^2+2x+3y^2-2)$
Adesso sostituiamo i punti soluzione del sistema alle derivate di secondo ordine e valutiamo il segno, punto per punto, per superare questa fase deve succedere che la derivata seconda rispetto a x due volte e la derivata seconda rispetto a y due volte devono avere segno coincidente in uno stesso punto:
Nel punto A si ha:
$(∂^2 g)/(∂x^2 ) (-1;0)=-20<0
(∂^2 g)/(∂y^2 ) (-1;0)=-12<0$
Nel punto B si ha:
$(∂^2 g)/(∂x^2 ) (-1;3^(1/2) )=-8<0
(∂^2 g)/(∂y^2 ) (-1;3^(1/2) )=24>0$
Nel punto C le derivate seconde hanno lo stesso valore che nel punto B.
Nel punto D, si ha:
$(∂^2 g)/(∂x^2 ) (5^(1/2)-1;0)=40>0
(∂^2 g)/(∂y^2 ) (5^(1/2)-1;0)=8>0$
Nel punto E le derivate seconde hanno lo stesso valore che nel punto D.
Quindi per il teorema 5.4.2 i punti candidati ad essere di massimo o di minimo relativo sono i punti:
A,D ed E.
L’ultimo passaggio prevede di calcolare la funzione Hessiana e valutare i punti in cui essa risulti maggiore o uguale di zero, se esistono punti che verificano tale condizione allora essi si diranno di massimo relativo se le derivate seconde sono negative, di minimo relativo se le derivate seconde sono positive. A tale scopo introduciamo la funzione Hessiana:
$H(x,y)=f_(x,x) f_(y,y)-f_(x,y)^2
H(x,y)=4•(3•x^2 + 6•x + y^2 - 2)4•(x^2 + 2•x + 3•y^2 - 2)-(8•y•(x + 1))^2$
Nel punto A, si ha:
$H(A)=240>0$
Quindi A è un punto di massimo relativo
Nel punto D, si ha:
$H(E)=320>0$
Quindi D è un punto di minimo relativo.
Nel punto E l’Hessiana ha lo stesso valore che nel punto D, quindi anch’esso è un punto di minimo relativo.
In definitiva la funzione g(x,y) ha un punto di massimo relativo nel punto A=(-1,0) e due punti di minimo relativo nei punti D ed E. Valutiamo gli estremi della funzione:
$f(x,y)=ln|g(x,y)|$
In primo luogo valutiamo il valore dei massimi e dei minimi relativi di g(x,y):
$Max g=9,m_1=m_2=-16$
quindi la funzione f(x,y) ha due massimi relativi in corrispondenza dei punti D, E, poiché |-16|>|9|, mentre nei punti in cui la funzione g(x,y) si annulla, la funzione f(x,y) ha estremo inferiore relativo.
$g(x,y)=0$
per ogni (x,y)che appartienne all^' insieme
$ {(x,y):x^2+4x+y^2=0 oppure x^2+y^2=4}$
Quindi$ Inf f∈ {(x,y):x^2+4x+y^2=0 oppure x^2+y^2=4}$.
Ho risolto il problema in questo modo, non sono sicuro della correttezza logica e vorrei confrontarmi con qualcuno esperto tra di voi. Nel mio testo esiste anche la ricerca di massimi e minimi vincolati, forse sarebe stato più corretto applicare quel metodo, non lo so! attendo risposta, buon pranzo a tutti!
$g(x,y)=(x^2+y^2+4x)(x^2+y^2-4 ) e
f(x,y)=ln|g(x,y)|$
Consideriamo la funzione g(x,y) e notiamo che essa è definita in tutto R e ivi dotata di derivate di qualsiasi ordine. Determiniamo le derivate parziali del primo ordine e si ha:
$(∂g)/(∂x)=4(x^3+3x^2+x(y^2-2)+y^2-4)
(∂g)/(∂y)=4y(x^2+2x+y^2-2)$
Quindi in virtù del teorema 5.4.2 cerchiamo i punti che potrebbero essere di massimo o di minimo risovendo il sitema
${ (4(x^3+3x^2+x(y^2-2)+y^2-4)=0 ),( 4y(x^2+2x+y^2-2)=0 ):}$
I punti in cui tale sistema si annulla sono molteplici:
$A=(-1,0),B(-1,3^(1/2) ),C=(-1,-3^(1/2) ),
D=(5^(1/2)-1,0),E=(-5^(1/2)-1,0$
Calcoliamo adesso le derivate seconde e si ha:
$(∂^2 g)/(∂ x^2 )=((x^2+y^2+4x)(x^2+y^2-4))
(∂^2 g)/∂x∂y=8y(x+1)
(∂^2 g)/(∂ y^2 )=4(x^2+2x+3y^2-2)$
Adesso sostituiamo i punti soluzione del sistema alle derivate di secondo ordine e valutiamo il segno, punto per punto, per superare questa fase deve succedere che la derivata seconda rispetto a x due volte e la derivata seconda rispetto a y due volte devono avere segno coincidente in uno stesso punto:
Nel punto A si ha:
$(∂^2 g)/(∂x^2 ) (-1;0)=-20<0
(∂^2 g)/(∂y^2 ) (-1;0)=-12<0$
Nel punto B si ha:
$(∂^2 g)/(∂x^2 ) (-1;3^(1/2) )=-8<0
(∂^2 g)/(∂y^2 ) (-1;3^(1/2) )=24>0$
Nel punto C le derivate seconde hanno lo stesso valore che nel punto B.
Nel punto D, si ha:
$(∂^2 g)/(∂x^2 ) (5^(1/2)-1;0)=40>0
(∂^2 g)/(∂y^2 ) (5^(1/2)-1;0)=8>0$
Nel punto E le derivate seconde hanno lo stesso valore che nel punto D.
Quindi per il teorema 5.4.2 i punti candidati ad essere di massimo o di minimo relativo sono i punti:
A,D ed E.
L’ultimo passaggio prevede di calcolare la funzione Hessiana e valutare i punti in cui essa risulti maggiore o uguale di zero, se esistono punti che verificano tale condizione allora essi si diranno di massimo relativo se le derivate seconde sono negative, di minimo relativo se le derivate seconde sono positive. A tale scopo introduciamo la funzione Hessiana:
$H(x,y)=f_(x,x) f_(y,y)-f_(x,y)^2
H(x,y)=4•(3•x^2 + 6•x + y^2 - 2)4•(x^2 + 2•x + 3•y^2 - 2)-(8•y•(x + 1))^2$
Nel punto A, si ha:
$H(A)=240>0$
Quindi A è un punto di massimo relativo
Nel punto D, si ha:
$H(E)=320>0$
Quindi D è un punto di minimo relativo.
Nel punto E l’Hessiana ha lo stesso valore che nel punto D, quindi anch’esso è un punto di minimo relativo.
In definitiva la funzione g(x,y) ha un punto di massimo relativo nel punto A=(-1,0) e due punti di minimo relativo nei punti D ed E. Valutiamo gli estremi della funzione:
$f(x,y)=ln|g(x,y)|$
In primo luogo valutiamo il valore dei massimi e dei minimi relativi di g(x,y):
$Max g=9,m_1=m_2=-16$
quindi la funzione f(x,y) ha due massimi relativi in corrispondenza dei punti D, E, poiché |-16|>|9|, mentre nei punti in cui la funzione g(x,y) si annulla, la funzione f(x,y) ha estremo inferiore relativo.
$g(x,y)=0$
per ogni (x,y)che appartienne all^' insieme
$ {(x,y):x^2+4x+y^2=0 oppure x^2+y^2=4}$
Quindi$ Inf f∈ {(x,y):x^2+4x+y^2=0 oppure x^2+y^2=4}$.
Ho risolto il problema in questo modo, non sono sicuro della correttezza logica e vorrei confrontarmi con qualcuno esperto tra di voi. Nel mio testo esiste anche la ricerca di massimi e minimi vincolati, forse sarebe stato più corretto applicare quel metodo, non lo so! attendo risposta, buon pranzo a tutti!
Risposte
Il procedimento è corretto, e i risultati sono quasi tutti ok.
Anzi complimenti perchè la quantità di calcoli è abbastanza alta e pesante.
In sostanza ci sono due minimi in D,E, un massimo in A e due selle in B,C.
In fondo ci sono due immagini della superficie, dove si vedono bene con le curve di livello i minimi, il massimo, le selle (dove ci sono gli incroci).
Ti faccio vedere un procedimento alternativo che sicuramente apprezzerai (anche per farti vedere possibili alternative meno "calcolose").
Se uno riesce a notare che la superficie è simmetrica, siccome è il prodotto di due paraboloidi che sono uguali, può cercare di spostare l'origine sull'asse di simmetria $y=-1$.
Cioè $x=\bar x -1$ e la funzione diventa
$f(\bar x, y)=(\barx^2+2\barx+y^2-3)(\barx^2-2\barx+y^2-3)=(\barx^2+y^2-3)^2-4\bar x^2$
Il gradiente di questa funzione è più semplice e mettendolo uguale a zero, facendo alcuni passaggi si ottiene:
$2(\barx^2+y^2-3)(2\barx, 2y)=(8\barx,0)$
Ora questa uguaglianza è verificata:
- nell'origine
- sulla circonferenza $\barx^2+y^2-3=0$ e dove $\barx=0$, sarebbero le due selle $(0,\pm \sqrt 3)$.
- ponendo $y=0$ si trova $2(\barx^2-3)2x=8 \bar x$, cioè $\barx=\pm\sqrt5$
Tieni conto che è sempre tutto traslato di 1.
Anche calcolare l'hessiana così diventa più semplice.
Anzi complimenti perchè la quantità di calcoli è abbastanza alta e pesante.
In sostanza ci sono due minimi in D,E, un massimo in A e due selle in B,C.
In fondo ci sono due immagini della superficie, dove si vedono bene con le curve di livello i minimi, il massimo, le selle (dove ci sono gli incroci).
Ti faccio vedere un procedimento alternativo che sicuramente apprezzerai (anche per farti vedere possibili alternative meno "calcolose").
Se uno riesce a notare che la superficie è simmetrica, siccome è il prodotto di due paraboloidi che sono uguali, può cercare di spostare l'origine sull'asse di simmetria $y=-1$.
Cioè $x=\bar x -1$ e la funzione diventa
$f(\bar x, y)=(\barx^2+2\barx+y^2-3)(\barx^2-2\barx+y^2-3)=(\barx^2+y^2-3)^2-4\bar x^2$
Il gradiente di questa funzione è più semplice e mettendolo uguale a zero, facendo alcuni passaggi si ottiene:
$2(\barx^2+y^2-3)(2\barx, 2y)=(8\barx,0)$
Ora questa uguaglianza è verificata:
- nell'origine
- sulla circonferenza $\barx^2+y^2-3=0$ e dove $\barx=0$, sarebbero le due selle $(0,\pm \sqrt 3)$.
- ponendo $y=0$ si trova $2(\barx^2-3)2x=8 \bar x$, cioè $\barx=\pm\sqrt5$
Tieni conto che è sempre tutto traslato di 1.
Anche calcolare l'hessiana così diventa più semplice.
Grazie della risposta Quinzio, mi rincuora. La caonsegna dell'esercizio prevede anche il calcolo degli estremi della funzione f(x,y), io l'ho risolto con un ragionamento da scuola elementare, che ne pensi (scusami se ti stresso ma sento la necessità di confrontarmi con qualcuno)?
L'argomento del logaritmo deve essere positivo, no ? Altrimenti la funzione non ha dominio nei punti dove l'argomento non è positivo. Qui l'esercizio ci viene in aiuto perchè hanno messo l'argomento "dentro al modulo", quindi ci dobbiamo preoccupare solo dove è zero.
Quindi giustamente tu hai cercato i punti dove $g(x,y)=0$ e sono le due circonferenze di raggio 2 con centro in $(0,0)$ e $(-2,0)$.
Ora però bisogna fare questo ragionamento: "nei pressi" delle due circonferenze, ovvero, più ti avvicini alle circonferenze, più la funzione log va verso $-oo$, giusto ?
Quindi la $f(x,y)$ non ha minimo, perchè posso "scendere" quanto mi pare, basta avvicinarsi alle circonferenze.
In prossimità delle selle, la $g(x,y)=0$ quindi vale quanto detto prima, rimangono gli altri estremi che si trasformano tutti in massimi, per effetto della funzione modulo, che ribalta i minimi e li fa diventare massimi.
Quindi giustamente tu hai cercato i punti dove $g(x,y)=0$ e sono le due circonferenze di raggio 2 con centro in $(0,0)$ e $(-2,0)$.
Ora però bisogna fare questo ragionamento: "nei pressi" delle due circonferenze, ovvero, più ti avvicini alle circonferenze, più la funzione log va verso $-oo$, giusto ?
Quindi la $f(x,y)$ non ha minimo, perchè posso "scendere" quanto mi pare, basta avvicinarsi alle circonferenze.
In prossimità delle selle, la $g(x,y)=0$ quindi vale quanto detto prima, rimangono gli altri estremi che si trasformano tutti in massimi, per effetto della funzione modulo, che ribalta i minimi e li fa diventare massimi.
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