Ricerca di un minimo.
Ciao a tutti! 
Sto ultimando la mia tesi di dottorato in cui ho studiato un problema di controllo stocastico ma mi sono bloccata su un minimo che non riesco a trovare.
Ho una funzione definita in un compatto (un rettangolo) fatta così:
H(x,y)= 1/2 A x^2 + 1/2 B y^2 + C x y + D x + E y + F
Delle costanti non so il segno, potrebbero essere positive o negative.
Devo trovare il minimo di questa funzione ma il problema è che, oltre ad avere infiniti punti stazionari (la matrice dei coefficienti del sistema con le derivate prime pari a zero ha righe linearmente dipendenti), mi viene l'hessiano singolare (con determinante nullo) poichè ho che
AB-C^2=0.
Ovviamente le costanti che ho scritto stanno al posto di espressioni un pò lunghette che non riporto qui.
Potreste suggerirmi come muovermi per trovare questo/i minimo/i?
Sto ultimando la mia tesi di dottorato in cui ho studiato un problema di controllo stocastico ma mi sono bloccata su un minimo che non riesco a trovare.
Ho una funzione definita in un compatto (un rettangolo) fatta così:
H(x,y)= 1/2 A x^2 + 1/2 B y^2 + C x y + D x + E y + F
Delle costanti non so il segno, potrebbero essere positive o negative.
Devo trovare il minimo di questa funzione ma il problema è che, oltre ad avere infiniti punti stazionari (la matrice dei coefficienti del sistema con le derivate prime pari a zero ha righe linearmente dipendenti), mi viene l'hessiano singolare (con determinante nullo) poichè ho che
AB-C^2=0.
Ovviamente le costanti che ho scritto stanno al posto di espressioni un pò lunghette che non riporto qui.
Potreste suggerirmi come muovermi per trovare questo/i minimo/i?
Risposte
Prima di tutto ben arrivata nel forum!!!!
In secondo luogo, non sono un esperto.......ma prova a vedere se riesci a studiare (essendo nullo il determinante Hessiano) il segno della traccia!
Ciao
Alexp
In secondo luogo, non sono un esperto.......ma prova a vedere se riesci a studiare (essendo nullo il determinante Hessiano) il segno della traccia!
Ciao
Alexp
Si tratta di un tipico problema di ricerca dei minimi vincolati di una funzione. La funzione di cui si vuol trovare il minimo è la seguente [chiedo scusa ad Ala Nera se sostituisco le lettere maiuscole con le minuscole…]…
$h(x,y)= 1/2*a*x^2+1/2*b*y^2+ c*x*y+d*x+e*y+f$ (1)
… con i vincoli…
$x_1<=x<=x_2$
$y_1<=y<=y_2$ (2)
I tali casi la mia personale esperienza suggerisce che per prima cosa conviene cercare gli estremi della funzione senza tener conto dei vincoli. Nel caso specifico il ‘vincolo supplementare’…
$a*b-c^2=0$ (3)
… aiuta di molto la soluzione poiché limita l’esame in pratica ai seguenti casi:
1) $a>0$,$b>0$
2) $a<0$,$b<0$
3) $a=c=0$
4) $b=c=0$
5) $a=b=c=0$
Caso 1). Il fatto che sia a sia b siano positive comporta che la (1), non soggetta a vincoli, ha un solo punto di minimo. Ponendo infatti nella (1) $y=costante$ si ha…
$h(x,y)= 1/2*x^2+ (c*y+d)*x+(1/2*b*y^2+e*y+f)$ (4)
… la quale rappresenta una parabola con la concavità verso il basso la quale ha un punto di minimo in $x_0(y)$ che può essere trovato facilmente imponendo l’annullamento della derivata della (4) come funzione della sola $x$. Ripetendo lo stesso ragionamento scambiando i ruoli della $x$ e della $y$ si trova ancora una parabola funzione della sola $y$ con la concavità verso il basso e ciò assicura l’unicità del minimo complessivo della funzione senza vincoli. Sostituendo nella (4) il valore di $x_0(y)$ trovato e minimizzando tale valore rispetto alla variabile $y$ di trova il punto di minimo assoluto $(x_0,y_0)$. A questo punto se il punto $(x_0,y_0)$ così trovato è interno al rettangolo definito dai vincoli (2) esso è la soluzione del problema. Se no, il punto di minimo vincolato è il vertice del rettangolo più vicino al punto $(x_0,y_0)$…
Caso 2). In tal caso la (1) non soggetta a vincoli ha un solo punto di massimo che può essere trovato nel modo descritto in precedenza. Se $(x_0,y_0)$ è tale punto, il minimo vincolato della (1) è il vertice del rettangolo definito dai vincoli (2) più lontano dal punto $(x_0,y_0)$…
I casi 3),4) e 5) sono casi particolari per i quali il procedimento di soluzione, rispetto ai due casi ora esaminati, non dovrebbe presentare problemi…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$h(x,y)= 1/2*a*x^2+1/2*b*y^2+ c*x*y+d*x+e*y+f$ (1)
… con i vincoli…
$x_1<=x<=x_2$
$y_1<=y<=y_2$ (2)
I tali casi la mia personale esperienza suggerisce che per prima cosa conviene cercare gli estremi della funzione senza tener conto dei vincoli. Nel caso specifico il ‘vincolo supplementare’…
$a*b-c^2=0$ (3)
… aiuta di molto la soluzione poiché limita l’esame in pratica ai seguenti casi:
1) $a>0$,$b>0$
2) $a<0$,$b<0$
3) $a=c=0$
4) $b=c=0$
5) $a=b=c=0$
Caso 1). Il fatto che sia a sia b siano positive comporta che la (1), non soggetta a vincoli, ha un solo punto di minimo. Ponendo infatti nella (1) $y=costante$ si ha…
$h(x,y)= 1/2*x^2+ (c*y+d)*x+(1/2*b*y^2+e*y+f)$ (4)
… la quale rappresenta una parabola con la concavità verso il basso la quale ha un punto di minimo in $x_0(y)$ che può essere trovato facilmente imponendo l’annullamento della derivata della (4) come funzione della sola $x$. Ripetendo lo stesso ragionamento scambiando i ruoli della $x$ e della $y$ si trova ancora una parabola funzione della sola $y$ con la concavità verso il basso e ciò assicura l’unicità del minimo complessivo della funzione senza vincoli. Sostituendo nella (4) il valore di $x_0(y)$ trovato e minimizzando tale valore rispetto alla variabile $y$ di trova il punto di minimo assoluto $(x_0,y_0)$. A questo punto se il punto $(x_0,y_0)$ così trovato è interno al rettangolo definito dai vincoli (2) esso è la soluzione del problema. Se no, il punto di minimo vincolato è il vertice del rettangolo più vicino al punto $(x_0,y_0)$…
Caso 2). In tal caso la (1) non soggetta a vincoli ha un solo punto di massimo che può essere trovato nel modo descritto in precedenza. Se $(x_0,y_0)$ è tale punto, il minimo vincolato della (1) è il vertice del rettangolo definito dai vincoli (2) più lontano dal punto $(x_0,y_0)$…
I casi 3),4) e 5) sono casi particolari per i quali il procedimento di soluzione, rispetto ai due casi ora esaminati, non dovrebbe presentare problemi…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
...forse i casi 3) e 4) sono da dividere a loro volta in 3a) 3b) e 4a) 4b), ossia:
3)$a=c=0$
3a)$a=c=0, b<0$
3b)$a=c=0, b>0$
4)$b=c=0$
4a)$b=c=0, a<0$
4b)$b=c=0, a>0$
sbaglio?
3)$a=c=0$
3a)$a=c=0, b<0$
3b)$a=c=0, b>0$
4)$b=c=0$
4a)$b=c=0, a<0$
4b)$b=c=0, a>0$
sbaglio?
Certamente AlexP!... Il fatto è che possono essere tutti risolti sulla 'falsa riga' dei casi 1) e 2) e pertanto non dovrebbero presentare difficoltà... o almeno lo spero...
Nel caso 5) poi la $h(x,y)$ è una funzione lineare e in tal caso il minimo [come pure il massimo...] è un 'punto ammissibile estremo', vale a dire uno dei veritci del rettangolo definito dai vincoli. Dal momento che i vertici sono solamente quattro trovare il minimo [o il massimo...] in questo caso è immediato...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Nel caso 5) poi la $h(x,y)$ è una funzione lineare e in tal caso il minimo [come pure il massimo...] è un 'punto ammissibile estremo', vale a dire uno dei veritci del rettangolo definito dai vincoli. Dal momento che i vertici sono solamente quattro trovare il minimo [o il massimo...] in questo caso è immediato...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Scusami Lupo grigio,
ma quel "certamente Alexp" è inteso come: certamente che sbaglio o certaente che non sbaglio?
Io sarei arrivato alle "combinazioni" studiando il segno della traccia del determinante hessiano, il quale (determinante hessiano) dovendo valere zero come da vincolo, comporta proprio i cinque casi di combinazioni da te espressi!
Alexp
ma quel "certamente Alexp" è inteso come: certamente che sbaglio o certaente che non sbaglio?
Io sarei arrivato alle "combinazioni" studiando il segno della traccia del determinante hessiano, il quale (determinante hessiano) dovendo valere zero come da vincolo, comporta proprio i cinque casi di combinazioni da te espressi!
Alexp
Tranquillo AlexP... assolutamente non sbagli!... Occorre però dire che il problema più arduo che si incontra nei problemi di minimo [o di massimo...] vincolati è dato dal fatto che l'approccio 'standard' [ossia lo zero delle derivate parziali con determinante hessiano negativo...] non sempre è idoneo a pervenire alla soluzione. Anzi se il problema non è lineare si può dire che non esiste una tecnica valida sempre. Nel caso propostoci da Ala Nera si ha la fortuna di avere a che fare con funzioni di secondo grado 'concave' ovvero 'convesse' e questo consente una soluzione abbastanza agevole. Se però non ci fosse stato il 'vincolo supplementare' $a*b-c^2=0$, la soluzione diveniva assai più difficile...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Eh si......senza quel vincolo, non avrei saputo proprio cosa fare!!! Nel senso se si hanno un numero di punti "stazionari" finiti, ci si può aiutare studiando la curvatura nel punto, ma diversamente (ossia con punti stazionari infiniti) e senza un vincolo per l'Hessiano non serei capace!!!
Alexp
Alexp
non so come ringraziarvi !
siete stati preziosissimi!
siete stati preziosissimi!
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