Ricerca di punti critici in due variabili:

[Roslyn]

Ho tale funzione:
$(x^2y)/(y^2-1)$ Innanzitutto il dominio è$ R^2 escluso +-1$ ... Faccio le derivate parziali e pongo il gradiente uguale a 0, ottengo che l'unico punto critico è $(0,0)$ . Procedendo con la matrice Hessiana, vedo che ha Hessiano nullo. cosi mi studio localmente il segno della funzione nell'intorno del punto. E procedo cosi:
$f(x,y)-f(x_0,y_0)>0 $ ottendendo $(x^2y)/(y^2-1)$ >0 Ora ho delle difficoltà in tale studio. Io procederei cosi:
Studio il segno del Numeratore e poi del denominatore... Ottengo che il numeratore è positivo quando y>0 (essendo x^2 sempre positivo), mentre il denominatore è positivo quando $y^2> 1$ ovvero $y>1 U y<-1$ ora non so discutere questi risultati... chi mi aiuta a capire?

[porzio1]

e se studiassi il comportamento della funzione sulla retta $y=x$ ?

[Roslyn]

Il metodo del segno non va bene? conosco solo questo metodo, cosa intendi per studiare il comportamento su y=x?

[porzio1]

sulla retta $y=x$ la funzione vale $x^3/(x^2-1)$
da qui si vede facilmente che in ogni intorno di $(0,0)$ la funzione assume sia valori positivi che negativi e quindi l'origine è un punto di sella

[Roslyn]

Non ho capito come faccio a vederlo. Se disegno la retta y=x e studio il segno della funzione [(x^3)/(x^2-1)] >0 ho le soluzioni x>1 U -1

Cita

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[porzio1]

appunto
siccome in ogni intorno dell'origine ci sono punti della retta $y=x$ di ascissa negativa e positiva ,hai che l'origine è un punto di sella

[Roslyn]

Ok grazie mille. Ma se usavo il mio metodo di prima, andava bene lo stesso?

[porzio1]

sì ,rappresentando nel piano cartesiano le zone in cui il numeratore ed il denominatore assumono valori positivi e le zone in cui assumono valori negativi, ed applicando poi la regola dei segni