Ricerca di primitiva con condizione al limite

[lucads1]

Salve. Avrei bisogno di chiarimenti riguardo al seguente esercizio:

Sia $ g(x)=(1+x^2)e^(-|x+1| $ . Si calcoli la primitiva $ G $ di $ g $ in $ R $ tale che $ lim_(x -> +oo ) G(x)=3 $

Secondo i miei calcoli si ottiene $ G(x)=-e^-(x+1)(x^2+2x+3)+3 , AA x>= -1 $

e questo corrisponde al risultato fornito dal testo,infatti $ lim_(x -> +oo ) G(x)=3 $

Però sul testo è scritto che per $ x< -1 $ si ha $ G(x)=e^(x+1)(x^2-2x+3)-5 $ e non capisco perché in quanto prima di tutto, se non erro, qui la condizione del limite non deve essere rispettata stando nei valori negativi della $ x $ . Inoltre a me risulta come insieme delle primitive $ G(x)=e^(x+1)(x^2-2x+3)+c $ per $ x< -1 $ . Cioè non capisco perché pone $ c=-5 $ .
Grazie dell'aiuto.

[Steven11]

La tua funzione e' definita su tutto $RR$, pertanto la primitiva che devi trovare sara' anche definita su tutto $RR$. Distinguendo i due casi, trovi il ramo che viene prima di $-1$ e il ramo che viene dopo (che e' quello importante ai fini del limite). Ora nell'espressione delle primitive $G(x)=e^(x+1)(x^2-2x+3)+c $ per i valori prima di $1$, devi scegliere $c$ in modo tale che la funzione e' continua in $-1$, ed e' da li' che viene in valore $-5$

Ti torna? Ciao!

[lucads1]

Ciao. Sì ok, giusto, ho capito. Ti ringrazio!