Ricerca di max e min di una funzione a 2 variabili

[marecko]

$f(x,y) = xy * sqrt(x^2+y^2) $

Per trovare innanzitutto i punti critici ho calcolato le due derivate parziali che risultano essere: $ysqrt(x^2+y^2)+(x^2y)/sqrt(x^2+y^2)$ e quella rispetto ad y essere: $xsqrt(x^2+y^2)+(y^2x)/sqrt(x^2+y^2)$
Arrivato a questo punto non riesco a trovare i punti critici perchè non riesco a risolvere il sistema che annula le due derivate parziali...

[cristian_c]

Boh, io farei così:

escludo i punti con y = 0 e x = 0 (cioè i punti sull'asse). Poi divido la prima equazione per y e la seconda per x.

In tutti e due i casi ottengo sqrt(x^2+y^2) = ...

Quindi li eguaglio e ottengo:

-(x^2)/sqrt(x^2+y^2) = -(y^2)/sqrt(x^2+y^2)

e in sostanza (x^2 - y^2) / sqrt(x^2+y^2) = 0
cioè x^2 - y^2 = 0 che da come soluzioni x = y e x = -y cioè tutti i punti che stanno sulla bisettrice 1°-3° quadrante e sulla bisettrice 2°-4° quadrante.

Se invece scelgo x = 0 e y diverso da 0 ottengo fx diverso da 0 e fy = 0, mentre se scelgo x diverso da zero e y = 0 ottengo l'opposto.

Ovviamente non posso scegliere x = y = 0 perché nell'origine le derivate parziali non esistono

[marecko]

Grazie mille...però poi per i max e min come bisogna fare? Dovrei fare uno studio del segno della funzione?

[cristian_c]

La prima cosa che mi viene è controllare i segni delle derivate seconde pure e dell'hessiano

[walter891]

in questo caso è anche possibile studiare direttamente il segno della funzione perchè escludendo la radice (sempre positiva) diventa abbstanza facile

[marecko]

Quindi walter da ciò si dovrebbe dedurre che tutti i punti della bisettrice 1° e 3° quadrante sono punti di max, quelli della bisettrice 2° e 4° quadrante sono punti di min e (0,0) è punto di sella ?
Dico bene?