Ricerca di massimi e minimi per funzioni in due variabili

[pupazzetta1]

salve a tutti.. ho un qualche difficoltà con la ricerca dei massimi e minimi per le funzioni in due variabili.. finchè il determinante dell'Hessiano è diverso da zero non ci sono problemi... ma quando è nullo non so come comportarmi .. ho un paio di esercizi svolti in aula dalla professoressa e nient'altro ..e i libri che ci hanno consigliato sono decisamente inutili .. qualcuno sa dirmi dove posso cercare!??! vorrei capire ma neanche su internet ho trovato molto.

grazie in anticipo

[_Tipper]

Non so dove puoi cercare, posso però provare a spiegartelo in due parole. Sia $(x_0, y_0)$ un punto critico, e supponiamo che l'hessiano non dia informazioni circa la natura di tale punto. Conviene studiare la disequazione $f(x_0, y_0) \ge f(x,y)$. Se tale disequazione è soddisfatta in un intorno di $(x_0, y_0)$, allora tale punto è un massimo relativo. Se invece in un intorno di $(x_0, y_0)$ è soddisfatta $f(x_0, y_0) \le f(x,y)$ allora tale punto è un minimo relativo. Se invece ci sono punti dell'intorno di $(x_0, y_0)$ che soddisfano $f(x_0, y_0) \ge f(x, y)$ e punti che soddisfano $f(x_0, y_0) \le f(x, y)$, allora $(x_0, y_0)$ è una sella.

[pupazzetta1]

vediamo un pò... ho questa funzione f(x,y)= x^3 - 6xy + 3y^2 + 3x il dominio è tutto R^2 vedo i punti in cui il gradiente è nullo e trovo P(1,1) questo è un punto critico in cui l'hessiano risulta anche nullo allora studio f(x,y) - f(1,1) cioè -> x^3 - 6xy + 3y^2 + 3x -1 che equivale a (x-1)^3 + 3(x-2)^2 dovrei vedere se questa quantità è sempre maggiore di zero o minore... e se così non fosse sarebbe un punto di sella vero!!!?? ..e ci si comporta sempre così?? e se non ho un punto ma un insieme di punti? può succedere vero?