Ricerca di massimi e minimi in una funzione di due variabili

[Michele Di Guida]

Salve ragazzi, ho problemi con questo esercizio:
Studiare i punti critici della funzione $ f:\ RR^2->RR $ data da $ f(x,y)=(y^2-3x)^2e^-x $
e stabilire se la funzione $ f $ è limitata inferiormente e superiormente nell'insieme
$ {(x,y)inRR^2|x>=0,y^2
Quello che ho pensato di fare è innanzitutto calcolare le derivate parziali e porle entrambe uguali a zero:
$ { ( -e^-x(y^2-3x)(6+y^2-3x)=0),( e^-x(4y)(y^2-3x)=0 ):} $
i punti critici sono tutti i punti appartenenti all'insieme: $ {(x,y)inRR^2|y^2=3x} $, tra cui quindi e'
compresa anche l'origine degli assi, e il punto $ (2,0) $
Conviene utilizzare il metodo del segno (intorno del punto) ?
se considero la funzione $ f(x,y)-f(2,0)>0 $; ottengo:
$ e^-x(y^2-3x)^2 - 36/e^2>0 $
e così non saprei come continuare... Il metodo dell'hessiano mi sembra troppo calcoloso...
come posso procedere?

[gio73]

Non mi torna questa derivata

"Michele Di Guida":
$ { ( -e^-x(y^2-3x)(6+y^2-3x)=0)} $

a me viene
$ f_x=-e^-x(y^2-3x)(-6+y^2-3x)$

ma può darsi che abbia sbagliato io, magari qualcun'altro controlla...

personalmente preferisco scrivere così

$f_x=((y^2-3x)(6-(y^2-3x)))/(e^x)$

[Sk_Anonymous]

Ciao a tutti.

A me risulterebbe (se non ho sbagliato anch'io...)

$(delf)/(delx)= -e^-x(y^2-3x)(6+y^2-3x)$

proprio come a Michele Di Guida.

Saluti.

[gio73]

ok
allora vediamo, la nostra funzione è sempre positiva tranne che lungo la curva $y^2-3x=0$ dove vale zero, i punti che compongono questa curva dunque sono minimi (assoluti)
il gradiente si annulla anche per $y=0$ e $6-3x=0 ->x=2$ quindi nel punto $P(2;0)$

io proverei a restringermi all'asse x e alla retta x=2

[Michele Di Guida]

Calcolando l'hessiano il punto (2,0) dovrebbe essere di massimo...
infatti
$ f_(x\x)=e^-x(y^4-6(x-2)y^2 +9((x-4)x+2)) $
$ f_(x\x)(2,0)=-18/e^2 $
$ f_(x\y)=f_(y\x)=-4y(e^-x)(y^2-3x+3) $
$ f_(x\y)(2,0)=0 $
$ f_(y\x)(2,0)=0 $
$ f_(y\y)=12(e^-x)(y^2-x) $
$ f_(y\y)(2,0)=-24/e^2 $
Il determinante della matrice è positivo e $ a_(11) $ è negativo, quindi ho un punto di massimo...

Infatti credo che sia confermato dal grafico...

[Michele Di Guida]

Come faccio poi a verificare se essa è limitata superiormente? Data la presenza di minimi assoluti essa è sicuramente limitata inferiormente...

[quantunquemente]

non è limitata superiormente:basta vedere come si comporta lungo l'asse delle $y$

[Michele Di Guida]

quindi non è limitata superiormente neanche nell'insieme $ {(x,y)inRR^2|x>=0,y^2

Cita

Segnala

[quantunquemente]

ah,scusa,non avevo visto l'insieme,avevo considerato tutto $mathbbR^2$
adesso ci rifletto un attimo

[Michele Di Guida]

se restingo la funzione al bordo $ y^2=x $ ottengo che $ lim_(x->+oo)4x^2(e^-x)=0 $

[Michele Di Guida]

Inoltre sul bordo la funzione assume un massimo in x=2, ma non credo che questo sia sufficiente per verificare la limitatezza

[Camillo]

Mi sembra che l'insieme in cui chiede di verificare la limitatezza o meno della funzione non include l'asse y.

[quantunquemente]

sì, c'è l'$e^(-x)$ che porta tutto a zero lungo qualunque curva per $x rarr +infty$: tieni conto che $y^2 la funzione è limitata superiormente

@camillo
sì,scusate,come già detto prima non ho visto l'insieme ma solo la funzione e l'avevo considerata in tutto $mathbbR^2$


per fugare ogni tuo dubbio:una funzione continua che all'infinito abbia come limite un numero è limitata

[quantunquemente]

se poi vogliamo toccare ancora più con mano la limitatezza superiore della funzione, basta osservare che non c'è alcun dubbio che, nell'insieme dato,
$f(x,y)leq(-3x)^2e^(-x)$

[Michele Di Guida]

ragazzi quindi qual è il metodo "formale" per rispondere alla domanda sulla limitatezza?

[quantunquemente]

se avessi letto con attenzione uno dei miei post non ti sarebbe sfuggito :
una funzione continua che all'infinito ha come limite un numero è sicuramente limitata

per questo motivo,per il tuo esercizio il mio ultimo post è risolutivo

[Michele Di Guida]

Chiedo scusa se il mio post è risultato inappropriato, non volevo approfittare della vostra disponibilità. Vi ringrazio infinitamente per l'aiuto che mi fornite ogni qual volta mi sorge un dubbio.

[gio73]

@mivhele Non c'è da chiedere scusa

@quantunquemente rimuovi le ultime due righe del tuo post precedente.