Ricerca di massimi e minimi (dubbio)
$f(x,y)=x^2-3y^2+2x$
$f_x=2x+2$
$f_y= -6y$
poste uguale a $0$, il punto candidato è:
$(-1,0)$
calcolo della matrice hessiana:
$H(x,y)=((2,0),(0,-6))$
qui è inutile che io metta per $(x,y)$ il punto trovato. l'hessiana è sempre minore di $0$ perchè il det è $-12$
non ha ne max nè min relativi.
io credo che vada risolta cosi, voi che ne pensate?
grazie!
$f_x=2x+2$
$f_y= -6y$
poste uguale a $0$, il punto candidato è:
$(-1,0)$
calcolo della matrice hessiana:
$H(x,y)=((2,0),(0,-6))$
qui è inutile che io metta per $(x,y)$ il punto trovato. l'hessiana è sempre minore di $0$ perchè il det è $-12$
non ha ne max nè min relativi.
io credo che vada risolta cosi, voi che ne pensate?
grazie!
Risposte
Sì, sono d'accordo. Aggiungerei anche che ogni punto è un punto di sella, dal momento che l'hessiana ha un autovalore positivo e uno negativo. 
"EnderWiggins":
Sì, sono d'accordo. Aggiungerei anche che ogni punto è un punto di sella, dal momento che l'hessiana ha un autovalore positivo e uno negativo.
quindi quando ho il caso in cui l'hessiana viene minore di $0$ si tratta 'sempre' di punto di sella? O come posso accorgermene in un modo analitico?
ho notato, inoltre, che hai citato autovalori 'uno positivo e uno negativo'.
a lezione, non è stato introdotto questo 'dettaglio'.
dallìalgebra lineare ricordo che per trovare autovalori si fa:
$H(x,y)=((2-tao,0),(0,-6-tao))$
$(2-tao)*(-6-tao)=0$
infatti:
$tao=2$
$tao=-6$
credo tu ti rifirisca a questo.
in un compito, dovrei far vedere questo passaggio?
Anzi tutto piccola correzione mia..quando ho detto tutti i punti intendevo tutti i punti candidati, ho pensato solo dopo che fosse fraintendibile.
Comunque, nel caso di un'hessiana due per due (che è il nostro) sì, se viene det minore di zero è sempre un punto di sella. Alternativamente si può vedere dagli autovalori della matrice:
Non so in quante dimensioni abbiate lavorato ma vale la seguente proprietà:
Sia A una matrice. Consideriamo il polinomio $p(\lambda)=det(A-\lambda I)$ dove $\lambda$ è la variabile e I è la matrice identità (puoi guardare l'esempio che hai fatto, è effettivamente un polinomio). Allora questo si chiama polinomio caratteristico della matrice A e i suoi zeri sono gli autovalori della matrice. E vale per dimensione qualsiasi. Una volta noti gli autovalori se sono tutti negativi avremo un massimo locale, tutti positivi un minimo, un po' e un po' una sella. Se uno è zero a priori non abbiamo informazioni. Quindi nel caso due per due il det è minore di zero solo se sono uno e uno, per questo li ho tirati in ballo!
Ora, in via più analitica non ti saprei dire..come iscritto alla facoltà di matematica tutte le volte che posso ricorrere all'algebra lineare lo faccio (deformazione professionale). Diciamo che nel caso due per due se $det>0$ o hai un massimo o hai un minimo. Se $det<0$ hai sicuramente una sella. Se $det=0$ non hai informazioni a priori.
Spero di non aver fatto troppa confusione!!
Comunque, nel caso di un'hessiana due per due (che è il nostro) sì, se viene det minore di zero è sempre un punto di sella. Alternativamente si può vedere dagli autovalori della matrice:
Non so in quante dimensioni abbiate lavorato ma vale la seguente proprietà:
Sia A una matrice. Consideriamo il polinomio $p(\lambda)=det(A-\lambda I)$ dove $\lambda$ è la variabile e I è la matrice identità (puoi guardare l'esempio che hai fatto, è effettivamente un polinomio). Allora questo si chiama polinomio caratteristico della matrice A e i suoi zeri sono gli autovalori della matrice. E vale per dimensione qualsiasi. Una volta noti gli autovalori se sono tutti negativi avremo un massimo locale, tutti positivi un minimo, un po' e un po' una sella. Se uno è zero a priori non abbiamo informazioni. Quindi nel caso due per due il det è minore di zero solo se sono uno e uno, per questo li ho tirati in ballo!
Ora, in via più analitica non ti saprei dire..come iscritto alla facoltà di matematica tutte le volte che posso ricorrere all'algebra lineare lo faccio (deformazione professionale). Diciamo che nel caso due per due se $det>0$ o hai un massimo o hai un minimo. Se $det<0$ hai sicuramente una sella. Se $det=0$ non hai informazioni a priori.
Spero di non aver fatto troppa confusione!!
Ah, scusa, giusto..la domanda..beh..se hai una hessiana con elementi diversi da zero solo sulla diagonale principale non penso sia strettamente necessario..perchè in tal caso (come è successo prima) quelli sono proprio gli autovalori..forse se avessi una matrice più generale come ad esempio $([a,b],[c,d])$, sì. Anche perchè, altrimenti, che metodo usi per distinguere un massimo da un minimo?..
La prof ha 'diviso' la ricerca dei massimi e minimi relativi da quelli assoluti.
questo esercizio era nel topic 'massimi e minimi relativi'
in generale per vedere se i punti candidati son di minimo o massimo si fa:
$H >0$ max o min relativo
$H <0$ non è nè di max o di min relativo
$H = 0$ caso dubbio.
ad esempio su $H=0$ questo dire 'caso dubbio' per me ha due interpretazione:
caso dubbio: punto di sella, punto di min, punto di max?
o
caso dubbio: non si ha nessun mezzo per capire come definire quel punto.
p.s
gli autovalori la prof non li ha mai introdotti, però per me, sarebbe un metodo 'veloce' per capire come va l'esercizio.
finezze che a fisica non si fanno xD
questo esercizio era nel topic 'massimi e minimi relativi'
in generale per vedere se i punti candidati son di minimo o massimo si fa:
$H >0$ max o min relativo
$H <0$ non è nè di max o di min relativo
$H = 0$ caso dubbio.
ad esempio su $H=0$ questo dire 'caso dubbio' per me ha due interpretazione:
caso dubbio: punto di sella, punto di min, punto di max?
o
caso dubbio: non si ha nessun mezzo per capire come definire quel punto.
p.s
gli autovalori la prof non li ha mai introdotti, però per me, sarebbe un metodo 'veloce' per capire come va l'esercizio.
finezze che a fisica non si fanno xD
Beh, allora, caso dubbio in realtà può voler dire che sei finito su un "costone di roccia" diciamo..l'hessiana ti dà informazioni su come è rivolta la tua superficie (in analogia alla derivata seconda di analisi 1, ti dice se sei in un avvallamento o su una collina)..se $H=0$ significa che almeno due derivate seconde danno 0 (nel senso che hai una riga o una colonna tutta nulla). In questo caso non sai dire se la tua $f$ ha delle gobbe o delle valli, e quindi non sai dire che il tuo estremo relativo è la punta di una gobba o il fondo di una valle. Provo a fare un esempio:
Prendiamo $f(x,y)=x^3+y^2$, che sembra tanto innocente. $f_x=3x^2$, $f_y=2y$ e quindi il nostro estremo candidato è $(0,0)$. Calcoliamo l'hessiana: $([6x,0],[0,2])$ e scopriamo che valutata in $(0,0)$ dà $([0,0],[0,2])$. Siamo nel nostro caso dubbio, ma proviamo a pensare intuitivamente: se fissiamo x e le diamo un valore qualsiasi (ad esempio 0), sul piano $yz$ (per x=costante) abbiamo delle belle parabole. Allo stesso modo fissato y abbiamo delle innocenti cubiche. Quindi quello è un flesso: per x crescenti il nostro "canalone" sale, per x decrescenti "scende a valle" e in $(0,0)$ c'è una sorta di piccolo pianoro. Tuttavia le derivate seconde parziali tu sai (o puoi immaginare) che sono derivate direzionali che indagano una direzione sola, dimenticandosi del resto. Per questo l'hessiana non dà informazioni su quel punto, perchè è come avessi due vedette: una guarda solo lungo le x e dice "siamo in piano", l'altra lungo le y e dice "siamo in una valle"..e non vanno troppo d'accordo! Comunque, a parte l'esempio infantile..Se $H=0$ puoi non avere niente, oppure una sella, oppure chissà cos'altro..
Prendiamo $f(x,y)=x^3+y^2$, che sembra tanto innocente. $f_x=3x^2$, $f_y=2y$ e quindi il nostro estremo candidato è $(0,0)$. Calcoliamo l'hessiana: $([6x,0],[0,2])$ e scopriamo che valutata in $(0,0)$ dà $([0,0],[0,2])$. Siamo nel nostro caso dubbio, ma proviamo a pensare intuitivamente: se fissiamo x e le diamo un valore qualsiasi (ad esempio 0), sul piano $yz$ (per x=costante) abbiamo delle belle parabole. Allo stesso modo fissato y abbiamo delle innocenti cubiche. Quindi quello è un flesso: per x crescenti il nostro "canalone" sale, per x decrescenti "scende a valle" e in $(0,0)$ c'è una sorta di piccolo pianoro. Tuttavia le derivate seconde parziali tu sai (o puoi immaginare) che sono derivate direzionali che indagano una direzione sola, dimenticandosi del resto. Per questo l'hessiana non dà informazioni su quel punto, perchè è come avessi due vedette: una guarda solo lungo le x e dice "siamo in piano", l'altra lungo le y e dice "siamo in una valle"..e non vanno troppo d'accordo! Comunque, a parte l'esempio infantile..Se $H=0$ puoi non avere niente, oppure una sella, oppure chissà cos'altro..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo