Ricerca di massimi e minimi di una funzione di due variabil
Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano per un esercizio svolto dal mio prof che non ho compreso pienamente.
Determinare gli eventuali estremi relativi della funzione
$f(x,y)=root(3)(|(4x^2+y^2-16)/(64-(4x^2+y^2))|)$
nell'intersezione tra il campo di esistenza ed il quadrato di vertici (0,0),(4,0),(0,4),(4,4).
Consideriamo $f(x,y)=phi(g(x,y))$ con $g(x,y)=4x^2+y^2$ e $phi(t)=root(3)(|(t-16)/(64-t)|)$
Si studia innanzitutto la funzione g(x,y) (caso che ho già trattato in un post precedente) e si ottiene che (0,0) e (4,4) sono rispettivamente minimo e massimo assoluto per g(x,y).
La funzione $phi(t)=root(3)(|(t-16)/(64-t)|)$ presenta il seguente andamento:
http://imageshack.us/photo/my-images/801/graficoi.png/
A questo punto il professore trova l'immagine di g che è [g(0,0),g(4,4)]=[0,80] e considera la funzione per $t in [0,80]$:
http://imageshack.us/photo/my-images/840/grafico2j.png/
Per quale motivo fa quest'ultimo passaggio?
volevo chiedervi una mano per un esercizio svolto dal mio prof che non ho compreso pienamente.
Determinare gli eventuali estremi relativi della funzione
$f(x,y)=root(3)(|(4x^2+y^2-16)/(64-(4x^2+y^2))|)$
nell'intersezione tra il campo di esistenza ed il quadrato di vertici (0,0),(4,0),(0,4),(4,4).
Consideriamo $f(x,y)=phi(g(x,y))$ con $g(x,y)=4x^2+y^2$ e $phi(t)=root(3)(|(t-16)/(64-t)|)$
Si studia innanzitutto la funzione g(x,y) (caso che ho già trattato in un post precedente) e si ottiene che (0,0) e (4,4) sono rispettivamente minimo e massimo assoluto per g(x,y).
La funzione $phi(t)=root(3)(|(t-16)/(64-t)|)$ presenta il seguente andamento:
http://imageshack.us/photo/my-images/801/graficoi.png/
A questo punto il professore trova l'immagine di g che è [g(0,0),g(4,4)]=[0,80] e considera la funzione per $t in [0,80]$:
http://imageshack.us/photo/my-images/840/grafico2j.png/
Per quale motivo fa quest'ultimo passaggio?
Risposte
Potrei aver compreso male, ma..come sei messo a composizione di funzioni?
La funzione $phi$ per essere ben definita necessita che il suo argomento sia un valore "raggiunto" da $g$ quindi un numero appartenente al codominio di $g$ ovvero quell'intervallo.
La funzione $phi$ per essere ben definita necessita che il suo argomento sia un valore "raggiunto" da $g$ quindi un numero appartenente al codominio di $g$ ovvero quell'intervallo.
"wide87":
Potrei aver compreso male, ma..come sei messo a composizione di funzioni?
Hai compreso bene purtroppo. Non sono messo benissimo ma sto cercando di colmare alcune lacune. Mi potresti spiegare cosa intendi?
prova a leggere da qualsiasi fonte le prime righe di teoria sulle funzioni composte!!
Comunque ti faccio un esempio per (cercare di) farti capire:
Immagina di avere
$g(x)=sen(x)$
$h(x)=2x+1$ (totalmente irrilevante)
Supponi di voler definire $f(x)=h(g(x))$
Il seno raggiunge tutti e soli i valori compresi fra $-1$ e $1$
Dunque chiamando $t:=g(x)$ hai che $f=h(t)$ dunque limiti il tuo studio sulla funzione $h$ per valori di $t$ scelti in $[-1,1]$.
Non perchè $h$ non abbia senso per altri punti, bensì perchè studiare $h$ fuori da $[-1,1] $ esula dall'interesse del caso perchè di sicuro $g(x) in [-1,1]$
Spero di averti aiutato un pochino!
Comunque ti faccio un esempio per (cercare di) farti capire:
Immagina di avere
$g(x)=sen(x)$
$h(x)=2x+1$ (totalmente irrilevante)
Supponi di voler definire $f(x)=h(g(x))$
Il seno raggiunge tutti e soli i valori compresi fra $-1$ e $1$
Dunque chiamando $t:=g(x)$ hai che $f=h(t)$ dunque limiti il tuo studio sulla funzione $h$ per valori di $t$ scelti in $[-1,1]$.
Non perchè $h$ non abbia senso per altri punti, bensì perchè studiare $h$ fuori da $[-1,1] $ esula dall'interesse del caso perchè di sicuro $g(x) in [-1,1]$
Spero di averti aiutato un pochino!
"wide87":
Immagina di avere
$g(x)=sen(x)$
$h(x)=2x+1$ (totalmente irrilevante)
Supponi di voler definire $f(x)=h(g(x))$
Il seno raggiunge tutti e soli i valori compresi fra $-1$ e $1$
Dunque chiamando $t:=g(x)$ hai che $f=h(t)$ dunque limiti il tuo studio sulla funzione $h$ per valori di $t$ scelti in $[-1,1]$.
Non perchè $h$ non abbia senso per altri punti, bensì perchè studiare $h$ fuori da $[-1,1] $ esula dall'interesse del caso perchè di sicuro $g(x) in [-1,1]$
Spero di averti aiutato un pochino!
Mi hai aiutato moltissimo
. Grazie.
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