Ricerca di massimi e minimi assoluti su E
Buongiorno, avrei dei dubbi su questo esercizio:
La funzione è polinomiale, perciò sicuramente continua su E (intervallo chiuso e limitato), perciò, per il teorema di Weierstrass, esistono sicuramente un punto di massimo e uno di minimo assoluti per f(x,y) su E.
Poichè E comprende sia una parte interna sia un bordo, studio le due parti separatamente, partendo dalla parte interna.
$\nablaf(x,y)=(3x^2,2y)=\underline{0}\Leftrightarrow (x,y)=(0,0)$, ma $(x,y)=(0,0)$ non appartiene a E, perciò non possono esistere punti estremanti assoluti nella parte interna di E.
L'idea per studiare il bordo di E è quella di usare i moltiplicatori di Lagrange, ma il mio problema è che non riesco a semplificare la definizione di E per renderla più facilmente trattabile col metodo appena citato.
Qualcuno riuscirebbe, gentilmente, a darmi qualche input?
Grazie dell'attenzione
La funzione è polinomiale, perciò sicuramente continua su E (intervallo chiuso e limitato), perciò, per il teorema di Weierstrass, esistono sicuramente un punto di massimo e uno di minimo assoluti per f(x,y) su E.
Poichè E comprende sia una parte interna sia un bordo, studio le due parti separatamente, partendo dalla parte interna.
$\nablaf(x,y)=(3x^2,2y)=\underline{0}\Leftrightarrow (x,y)=(0,0)$, ma $(x,y)=(0,0)$ non appartiene a E, perciò non possono esistere punti estremanti assoluti nella parte interna di E.
L'idea per studiare il bordo di E è quella di usare i moltiplicatori di Lagrange, ma il mio problema è che non riesco a semplificare la definizione di E per renderla più facilmente trattabile col metodo appena citato.
Qualcuno riuscirebbe, gentilmente, a darmi qualche input?
Grazie dell'attenzione
Risposte
[xdom="gugo82"]Sezione sbagliata.
Sposto in Analisi di Base.[/xdom]
Sposto in Analisi di Base.[/xdom]
Puoi studiare la funzione ristretta ai vari pezzi di frontiera (sono 3, abbastanza facili da vedere se disegni E) lì diventa una funzione di 1 variabile ti trovi imassimi e ricavi il punto corrispondente, poi confronti il più grande tra i valori trovato e hai finito
"Reyzet":
sono 3, abbastanza facili da vedere se disegni E
Quindi dici di parametrizzare E come $E={(x,y)\in\mathbbR:x=0 V x^2+y^2=1 V x^2+y^2=4}$?
Siccome E è chiuso e hai già studiato l'interno passi alla frontiera (dove ci sono gli uguali), ora E è una semicorona
circolare e si ha:
$FE={x=0, 1\leq y^2 \leq 4} \bigcup {x \geq 0, x^2+y^2=1} \bigcup {x\geq 0, x^2+y^2=4}$
Ora restringendo ai vari pezzi la funzione diventa di una variabile (di forme diverse), e i punti di estremo assoluto se lo sono per la funzione su E lo sono anche per la funzione valutata sulla frontiera. Quindi devi cercarli lavorando al solito (derivata=0).
circolare e si ha:
$FE={x=0, 1\leq y^2 \leq 4} \bigcup {x \geq 0, x^2+y^2=1} \bigcup {x\geq 0, x^2+y^2=4}$
Ora restringendo ai vari pezzi la funzione diventa di una variabile (di forme diverse), e i punti di estremo assoluto se lo sono per la funzione su E lo sono anche per la funzione valutata sulla frontiera. Quindi devi cercarli lavorando al solito (derivata=0).
Mi sono bloccato qui:
Considero il primo pezzo: $\partialE_1={(x,y)\in\mathbbR:x=0, 1\leqy^2\leq4}$
f(x,y) ristretta a $\partialE_1$ è $y^2$, la cui derivata è 2y->positiva per y>0$\Rightarrow$la funzione è crescente tra 1 e 2.
Considero il secondo pezzo: $\partialE_2={(x,y)\in\mathbbR:x\geq0, x^2+y^2=4}$
Come posso procedere per valutare f(x,y) in $\partialE_2$?
Considero il primo pezzo: $\partialE_1={(x,y)\in\mathbbR:x=0, 1\leqy^2\leq4}$
f(x,y) ristretta a $\partialE_1$ è $y^2$, la cui derivata è 2y->positiva per y>0$\Rightarrow$la funzione è crescente tra 1 e 2.
Considero il secondo pezzo: $\partialE_2={(x,y)\in\mathbbR:x\geq0, x^2+y^2=4}$
Come posso procedere per valutare f(x,y) in $\partialE_2$?
Sono i punti $(x,y)$ con ascissa non negativa per cui le coordinate verificano $y^2=4-x^2$ no? Quindi la funzione calcolata in questi punti diventa $f(x,y)=x^3+y^2 \rightarrow f_{|FE_{2}}=g(x)=x^3-x^2+4$ (sotto la condizione $x\geq 0$)
Mi sono reso conto che le mie sono state delle sviste da distratto! Ho risolto l'esercizio ora, grazie mille!
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