Ricerca di massimi e minimi

[valy1]

ciao, con il prof abbiamo trattato casi di funzioni continue e derivabili in punti che sono massimi e minimi per la funzione stessa.. la mia domanda è : è possibile che la funzione sia non continua ( ma anche caso non derivabile) in un punto che è massimo(o minimo) relativo? e se si come dovrei procere visto che non è derivabile e quindi non posso utilizzare il metodo della derivata prima..

[dissonance]

Certo che è possibile. Ad esempio la funzione $x\mapsto |x|$ ha il minimo assoluto per $x=0$ dove è continua ma non differenziabile (ma neanche derivabile direzionalmente). Se pensi al grafico di questa funzione (nel caso $x\inRR^2$) è un cono con il vertice nell'origine, ecco perché questa irregolarità. In questi casi di solito ci si arrangia, non credo ci possa essere un metodo universale.

[bink1]

è possibile che la funzione sia non continua ( ma anche caso non derivabile) in un punto che è massimo(o minimo) relativo?

certo. basta ricordarsi della definaizione:
"una funzione $f$ ha un massimo relativo in $x_0 in D$ se $f(x_0) >= f(x)$ per ogni $x in (x0 − δ,x0 + δ) sube D$."
come vedi, nella definizione non si accenna alla continuità della $f$.
la condizione sulla derivata prima è sufficiente per un punto stazionario, ma non necessaria.

e se si come dovrei procere visto che non è derivabile e quindi non posso utilizzare il metodo della derivata prima...

in genere in questi casi la procedura standard è cercare prima eventuali punti stazionari con lo studio della derivata prima.
poi si calcolano i valori della funzione nei punti di discontinuità e agli estremi del dominio, se esso è limitato.

il massimo (o minimo) della f sarà il massimo (o il minimo) di questi valori.

regards