Ricerca dei punti di massimo e minimo in 3 variabili

[Gio23121]

Ho qualche problema a capire come procedere su questi tipi di esercizio, più che altro non capisco mai bene quali casi devo considerare.

Posto un esercizio di esempio con il procedimento che ho provato a seguire :

Trovare (se esistono) gli estremi assoluti della funzione$ f(x; y; z) = z−x^2y$ nell’insieme $ E = {f(x; y; z) \in R^3 : z ≥ x^2 + y^2; x^2 + y^2 + z^2 ≤ 2} $

Allora cerco prima di tutto i punti critici :

Calcolo il gradiente ponendolo uguale a zero :
$ grad(F)={ ( -2xy ),( -x^2 ),( 1):} $ , il gradiente non si annulla mai quindi posso procedere a cercare i punti di massimo e minimo della funzione nell'insieme E .

Noto che l'insieme E è chiuso e limitato, dunque è compatto,dunque esistono sicuramente max e min di f sull'insieme per il teorema di Weierstrass

Qui iniziano i dubbi : la prima cosa che mi viene in mente è quella di applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange cercando punti di max e min sulla frontiera della sfera $x^2 + y^2 + z^2 ≤ 2$ , trovare i punti candidati e scartare i punti che non soddisfano la condizione $z ≥ x^2 + y^2$

Poi considero la condizione $z ≥ x^2 + y^2$ e ho dei dubbi su come procedere
Devo sostituire nella funzione e nel secondo vincolo $z = x^2+y^2$ e applicare di nuovo Lagrange? ci sono altri casi da considerare oltre a questo eventualmente?

[billyballo2123]

Devi fare esattamente quanto hai fatto con il primo vincolo, ovvero applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange cercando punti di max e min sulla frontiera di $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: z \ge x^2+y^2\}$ , trovare i punti candidati e scartare i punti che non soddisfano la condizione $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2\le 2\}$.

[Bokonon]

Sostanzialmente, abbiamo un paraboloide parabolico con vertice in (0,0,0) e una sfera centrata nell'origine con raggio $sqrt(2)$. Dabbiamo studiare con i moltiplicatori la superficie di entrambo ma tenendo conto del vincolo.
In particolare parabolide e sfera si intersecano per $z=1$ quindi la frontiera che ci interessa è la superficie del parabolide per $0 Inoltre ci interessano i punti della superficie della sfera esclusa la cupoletta per $1

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[billyballo2123]

"Bokonon":In particolare parabolide e sfera si intersecano per $ z=1 $ quindi la frontiera che ci interessa è la superficie del parabolide per $ 0 esclusi i punti appartenenti all'intersezione (una circonfereza di raggio 1).

Bokonon perché dovremmo escludere i punti appartenenti all'intersezione? L'esercizio richiede di trovare gli estremi assoluti della funzione $f$ sull'insieme $E$, quindi anche sulla circonferenza data dall'intersezione del paraboloide con la sfera.

"Bokonon":Inoltre ci interessano i punti della superficie della sfera esclusa la cupoletta per $ 1
Al contrario, gli unici punti della superficie della sfera su cui ricercare i punti estremanti sono quelli per cui $1\le z \leq \sqrt{2}$.

[Bokonon]

@billyballo
Hai ragione ho invertito mentalmente i segni. Avevo letto $x^2+y^2>=z$ e consideravo solo i punti esterni o sulla superficie del paraboloide.

[Gio23121]

Innanzi tutto grazie ad entrambi per la risposta. Quindi se ho ben capito devo applicare i Moltiplicatori di Lagrange sul vincolo $z-x^2-y^2=0$ ? successivamente noto che sicuramente $0<=x^2+y^2<=z$ per cui nel caso in cui si abbia $x^2+y^2=0$ ma $z\nex^2+y^2$ allora $z=sqrt(2)$ ? e nel caso in cui si abbia $z=x^2+y^2$ allora $z=1$? quest'ultimo però è equivalente ad applicare il metodo di Lagrange sul vincolo $z-x^2-y^2=0$ no?

[billyballo2123]

Non mi sono molto chiari i tuoi ragionamenti. Comunque questo è quello che devi fare è applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange al vincolo $g(x,y,z)=0$, con $g(x,y,z)=z-x^2-y^2$. Quindi devi trovare le soluzioni del sistema
\[
\begin{split}
&\partial_x f(x,y,z)+\lambda \partial_x g(x,y,z)=0 \\
&\partial_y f(x,y,z)+\lambda \partial_y g(x,y,z)=0 \\
&\partial_z f(x,y,z)+\lambda \partial_z g(x,y,z)=0 \\
&g(x,y,z)=0
\end{split}
\]
Una volta trovate le soluzioni $\{(x_k,y_k,z_k)\}_k$, le tieni in considerazione se e solo se $x_k^2+y_k^2+z_k^2 \le 2$.