Ricerca degli zeri gradiente
Buongiorno a tutti
se mi trovo davanti una funzione tale che il sistema degli zeri del gradiente viene una cosa del tipo
$ (partial f(x,y))/(partial x)=(partial f(y,x))/(partial y)= 0 $
posso assumere $ y=x $ e cercare gli zeri in una sola variabile sostituendo a una delle due?
esempio:
$ f(x, y) = x^4 + y^4 − 2xy − 2x^2 − 2y^2 $
$ { ( 4x^3-2y-4x=0 ),( 4y^3-2x-4y=0 ):} $ $ ?rArr 4x^3-6x=0 $
se mi trovo davanti una funzione tale che il sistema degli zeri del gradiente viene una cosa del tipo
$ (partial f(x,y))/(partial x)=(partial f(y,x))/(partial y)= 0 $
posso assumere $ y=x $ e cercare gli zeri in una sola variabile sostituendo a una delle due?
esempio:
$ f(x, y) = x^4 + y^4 − 2xy − 2x^2 − 2y^2 $
$ { ( 4x^3-2y-4x=0 ),( 4y^3-2x-4y=0 ):} $ $ ?rArr 4x^3-6x=0 $
Risposte
E cosa giustifica il fatto che $y=x$ scusa? Non c'è nessuna condizione del genere. Perché non potrebbe essere $y=3x$ oppure $y=x^3-x$? Le equazioni che hai scritto sono le sole cose di cui tenere conto. Devi alambiccarti un po' e cercare di risolvere quel sistema.
P.S.: prova a sommare e sottrarre membro a membro le equazioni: quello che trovi sono delle equazioni che puoi scomporre e otterrai le condizioni $y=\pm x$ (ora giustificate) tra le altre cose.
P.S.: prova a sommare e sottrarre membro a membro le equazioni: quello che trovi sono delle equazioni che puoi scomporre e otterrai le condizioni $y=\pm x$ (ora giustificate) tra le altre cose.
non so alambiccarmi! 
Ti ho detto cosa fare: provaci.
$ { ( 4(x^3+y^3)-2(x+y)-4(x+y)=0 ),( 4(x^3-y^3)-2(x-y)-4(x-y)=0 ):} $
provando a scomporre la somma dei cubi...
$ { ( 2(x+y)(2x^2+2xy+2y^2-3)=0 ),(2(x-y)(2x^2-2xy+2y^2-3)=0):} $
i secondi fattori se faccio la differenza:
$ 4xy=0 $ ? è giusto?
provando a scomporre la somma dei cubi...
$ { ( 2(x+y)(2x^2+2xy+2y^2-3)=0 ),(2(x-y)(2x^2-2xy+2y^2-3)=0):} $
i secondi fattori se faccio la differenza:
$ 4xy=0 $ ? è giusto?
Per il momento lascia perdere i fattori complicati (anche perché non puoi sommare solo loro, non ti pare?) Le equazioni le hai riscritte nella forma $AB=0,\ CD=0$. Quello che devi vedere ora è cosa accade se consideri separatamente questi casi
$A=0,\ C=0$
$A=0,\ D=0$
$B=0,\ C=0$
$B=0,\ D=0$
che forniscono tutte le possibili soluzioni (perché?).
$A=0,\ C=0$
$A=0,\ D=0$
$B=0,\ C=0$
$B=0,\ D=0$
che forniscono tutte le possibili soluzioni (perché?).
sì per l'annullamento del prodotto e ho dai primi due le relazioni che prima mi hai scritto... mmm fare un rapporto mi sembra impossibile... una moltiplicazione tra le equazioni... non credo mi porterebbe a cose buone
Devi fare quello che ti ho scritto: risolvere quattro sistemi diversi (anche se alcuni sono "immediati")
sì ho capito ora... l'ultimo sistema con B=0,D=0 è quello meno immediato, facendo una differenza ottengo
$ 4xy=0 $
sostituendo una volta x=0, e una volta y=0 ho $ (0,+-sqrt6/2) (+-sqrt6/2,0) $
$ 4xy=0 $
sostituendo una volta x=0, e una volta y=0 ho $ (0,+-sqrt6/2) (+-sqrt6/2,0) $
Sì, corretto. Alla fine, contando anche gli altri sistemi, dovresti avere ben 9 soluzioni.
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