Ricavare una funzione assegnate delle condizioni
Buona sera a tutti,
Se si ha una funzione che soddisfa tutte le seguenti condizioni:
$F(0) = 0$
$F(2) = 0$
$F'(2) = \infty$
$F(x_0) = 1$
$F'(x_0) = 0$
$F''(x_0) < 0$
$F(x) < F(x_0), se : x
Si può risalire alla funzione? Se la risposta è no, lo sarebbe se $x_0$ fosse noto?
E' altrimenti possibile ricavare un fascio di funzioni tali da soddisfare queste condizioni?
Grazie per le eventuali risposte.
Se si ha una funzione che soddisfa tutte le seguenti condizioni:
$F(0) = 0$
$F(2) = 0$
$F'(2) = \infty$
$F(x_0) = 1$
$F'(x_0) = 0$
$F''(x_0) < 0$
$F(x) < F(x_0), se : x
Si può risalire alla funzione? Se la risposta è no, lo sarebbe se $x_0$ fosse noto?
E' altrimenti possibile ricavare un fascio di funzioni tali da soddisfare queste condizioni?
Grazie per le eventuali risposte.
Risposte
Ovviamente no, indipendentemente da $x_0$.
Sono possibili infinite combinazioni che ti diano una funzione con le caratteristiche che richiedi; tanto infinite che non si può sperare di descriverle tutte con una simpatica formula.
Sono possibili infinite combinazioni che ti diano una funzione con le caratteristiche che richiedi; tanto infinite che non si può sperare di descriverle tutte con una simpatica formula.
Ti ringrazio per la tempestiva, e ben chiara risposta.
Visto l'evidente preparazione in materia, posso chiedere un link ad un sito, oppure un riferimento ad un libro che affronti questa questione?
Ad ogni modo grazie ancora.
Visto l'evidente preparazione in materia, posso chiedere un link ad un sito, oppure un riferimento ad un libro che affronti questa questione?
Ad ogni modo grazie ancora.
Il problema è formulato in maniera troppo vaga per essere inquadrato.
Tanto per capirci, è come se chiedessi se esiste una funzione il cui grafico passa per i punti $(0,0)$ ed $(1,1)$ del piano cartesiano... Certo che ne esistono, e però ne esistono di "brutte", di "belle", di "cotte" e di "crude", perché "funzione" è qualcosa di totalmente arbitrario.
Anche specificando (ad esempio) che cerchi una funzione continua, ce ne sarebbero troppe di funzioni soddisfacenti la condizione di passaggio per i due punti.
Nel caso di passaggio per due punti, nemmeno (in generale) il richiedere che la funzione soddisfi una certe EDO ti salva dalla nonunicità (anche se probabilmente limita il possibile insieme in cui cercare la funzione che serve).
Insomma, ti conviene cercare qualche condizione più forte che ti consenta di formulare un problema posto in termini migliori rispetto al soddisfacimento di semplici condizioni puntuali.
Tanto per capirci, è come se chiedessi se esiste una funzione il cui grafico passa per i punti $(0,0)$ ed $(1,1)$ del piano cartesiano... Certo che ne esistono, e però ne esistono di "brutte", di "belle", di "cotte" e di "crude", perché "funzione" è qualcosa di totalmente arbitrario.
Anche specificando (ad esempio) che cerchi una funzione continua, ce ne sarebbero troppe di funzioni soddisfacenti la condizione di passaggio per i due punti.
Nel caso di passaggio per due punti, nemmeno (in generale) il richiedere che la funzione soddisfi una certe EDO ti salva dalla nonunicità (anche se probabilmente limita il possibile insieme in cui cercare la funzione che serve).
Insomma, ti conviene cercare qualche condizione più forte che ti consenta di formulare un problema posto in termini migliori rispetto al soddisfacimento di semplici condizioni puntuali.
Si mi rendo conto che con quei dati è totalmente impossibile risalire ad una funzione. Grazie per l'aiuto.
Provo a riformulare il problema,
Data la funzione $f(x)$, curva rossa, del grafico che segue:
Si conosce l'area($4/3$, blu) sottesa ad essa e tra le due rette $x = 0$ e $x = 2$.
Inoltre si sa che, essa ha un massimo in $x = sqrt(2)$ ed il valore che la funzione in questo punto assume è $f(sqrt(2)) = 1$.
E' "tangente" alla retta $y = x$, nel punto $x = 0$ dove la funzione $f(x)$ si annulla.
Si aggiunge che la funzione si annulla anche nel punto $x = 2$ dove è anche qui "tangente".
La curva rossa del primo quadrante è "inscritta" nel trapezio raffigurato in figura.
Mi sembra che ora la funzione dovrebbe essere unica...mi sbaglio?
Come si trova?
Data la funzione $f(x)$, curva rossa, del grafico che segue:
Si conosce l'area($4/3$, blu) sottesa ad essa e tra le due rette $x = 0$ e $x = 2$.
Inoltre si sa che, essa ha un massimo in $x = sqrt(2)$ ed il valore che la funzione in questo punto assume è $f(sqrt(2)) = 1$.
E' "tangente" alla retta $y = x$, nel punto $x = 0$ dove la funzione $f(x)$ si annulla.
Si aggiunge che la funzione si annulla anche nel punto $x = 2$ dove è anche qui "tangente".
La curva rossa del primo quadrante è "inscritta" nel trapezio raffigurato in figura.
Mi sembra che ora la funzione dovrebbe essere unica...mi sbaglio?
Come si trova?
Non c'è un modo per trovarla perché chiaramente ne esistono infinite di funzioni che rispettano quei vincoli...insomma come ti è stato già detto, se parli di "funzioni" in generale, allora ne esistono infinite che rispettano un numero finito di vincoli, se parli di funzioni polinomiali, goniometriche...etc allora il campo si restringe ed è possibile che la soluzione, dati alcuni vincoli, possa essere unica. Funzione è un termine molto generale, una funzione potrebbe non essere neanche rappresentabile graficamente.
Ah...comunque la funzione è polinomiale, e come si vede dal grafico, nell' intervallo considerato è continua ed il dominio è: $-2
Considerando le condizioni scritte nel tuo primo messaggio:
La derivata di una funzione polinomiale è anch'essa una funzione polinomiale e quindi, essendo continua, l'immagine tramite essa di un intervallo è ancora un intervallo ergo la condizione che la derivata schizzi all'infinito al tendere a $2$ esclude che si tratta di una funzione polinomiale.
La derivata di una funzione polinomiale è anch'essa una funzione polinomiale e quindi, essendo continua, l'immagine tramite essa di un intervallo è ancora un intervallo ergo la condizione che la derivata schizzi all'infinito al tendere a $2$ esclude che si tratta di una funzione polinomiale.
Si volevo scrivere irrazionale...
Grazie per le vostre indicazioni; potrebbe essere utile e/o sufficiente conoscere informazioni circa la curvatura della curva per determinarla in quell' intervallo($0
La curva nell' intervallo considerato è piuttosto "tesa", e mi "sembra" segua un andamento uniforme, non ci sono "sbalzi".
Questa proprietà si può esprimere con la curvatura?
Insomma sempre nell' intervallo considerato, di curve che non hanno sbalzi(sono uniformi-tese), passano per quei tre punti, ed hanno sottesa l'area sopra indicata c' è ne più di una? Non riesco a figurarmene altre...forse ho solo poca fantasia...
La curva nell' intervallo considerato è piuttosto "tesa", e mi "sembra" segua un andamento uniforme, non ci sono "sbalzi".
Questa proprietà si può esprimere con la curvatura?
Insomma sempre nell' intervallo considerato, di curve che non hanno sbalzi(sono uniformi-tese), passano per quei tre punti, ed hanno sottesa l'area sopra indicata c' è ne più di una?
Non riesco a figurarmene altre...forse ho solo poca fantasia...
Quella figura mi era familiare. Io so qual è l'equazione della curva che vorresti ti dicessimo, ieri pomeriggio ho messo in ordine un po' di materiale di scuola. Riordinando mi è caduto l'occhio su una prova scritta che avevo assegnato ai miei studenti.
Perfetto @melia, la curva è proprio questa.
Qui non la seguo...o forse si...vuole dire è unica solo se si specifica il dominio e si rappresenta l' intera clessidra?
Perché capisco che esistono infinite curve, che in quel preciso intervallo, possono essere uguali...ma se si fa coincidere l' intervallo col dominio(dell' intera clessidra)...
Sono curioso..., in cosa consisteva la prova?
Mi piacerebbe confrontare il suo procedimento per ricavarla, col mio, potrebbe postarlo?
"@melia":
Ovviamente la curva non è l'unica che rappresenti quel grafico, ma è quella che compare quando si parla del grafico della clessidra
Qui non la seguo...o forse si...vuole dire è unica solo se si specifica il dominio e si rappresenta l' intera clessidra?
Perché capisco che esistono infinite curve, che in quel preciso intervallo, possono essere uguali...ma se si fa coincidere l' intervallo col dominio(dell' intera clessidra)...
Sono curioso..., in cosa consisteva la prova?
Mi piacerebbe confrontare il suo procedimento per ricavarla, col mio, potrebbe postarlo?
La prova consisteva nel tracciare il grafico delle due funzioni, data l'equazione della curva algebrica.
"@melia":
La prova consisteva nel tracciare il grafico...
Quindi con un piccolo studio di funzione? Oppure per punti...? Non so se esistono altri metodi...
È un semplice studio di funzione, una volta sciolta la curva algebrica. Tra l'altro basta proprio un unico studio di funzione perché i due rami sono simmetrici.
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