Ricavare informazioni dal polinomio di Taylor

[stefano8612]

Ciao a tutti, ho un ennesimo problema nel capire un esercizio.

Sia $f: R -> R$ una funzione derivabile quattro volte tale che:
$f(x)=2+(x-1)^3+o((x-1)^3)$ per $x->1$
Allora si ha:

(1) il punto $x=1$ è un punto di massimo per $f$[/list:u:19176d8y]

(2) il punto $x=1$ è un punto di minimo per $f$[/list:u:19176d8y]

(3) il punto $x=1$ è un punto di flesso per $f$[/list:u:19176d8y]

(4) nessuna delle precedenti[/list:u:19176d8y]

Come si svolge? Come ricavo queste informazioni dal polinomio di Taylor? Devo procedere graficamente?
Su internet ho trovato questo teorema:
Su supponga che $f'(x_0)=f''(x_0)=...=f^(n-1)(x_0)=0$ e $f^(n)(x_0)!=0$. Si hanno i seguenti 3 casi:

se $n$ è dispari, allora $x_0$ non è nè un massimo nè un minimo locale[/list:u:19176d8y]

se $n$ è pari ed è $f^(n)(x_0)>0$, allora $x_0$ è un minimo locale[/list:u:19176d8y]

se $n$ è pari ed è $f^(n)(x_0)<0$, allora $x_0$ è un massimo locale[/list:u:19176d8y]

Nel caso dell'esercizio, $n$ è dispari quindi potrei concludere che la risposta esatta è la (4)?
I punti di flesso invece come si trovano?

Grazie

[gordnbrn]

Siccome le derivate prima e seconda sono entrambe nulle, mentre la terza è diversa da zero, si tratta di un flesso a tangente orizzontale. Puoi perfezionare la risorsa che hai citato:

Si supponga che $f'(x_0)=f''(x_0)=...=f^(n-1)(x_0)=0$ e $f^(n)(x_0)!=0$. Si hanno i seguenti 4 casi:

se $n$ è dispari ed è $f^(n)(x_0)>0$ allora $x_0$ è un flesso discendente a tangente orizzontale[/list:u:3sejetta]

se $n$ è dispari ed è $f^(n)(x_0)<0$ allora $x_0$ è un flesso ascendente a tangente orizzontale[/list:u:3sejetta]

se $n$ è pari ed è $f^(n)(x_0)>0$ allora $x_0$ è un minimo locale[/list:u:3sejetta]

se $n$ è pari ed è $f^(n)(x_0)<0$ allora $x_0$ è un massimo locale[/list:u:3sejetta]

[stefano8612]

Grazie mille! Queste sono le uniche considerazioni che si possono fare dato un tale polinomio?

[gordnbrn]

Difficile dirlo. Per esempio, potrebbero chiederti quanto vale esattamente la derivata terza, non credo ti sarebbe difficile rispondere. Non vedo altre domande al riguardo che possano entrare in un quiz.

[stefano8612]

Capito, grazie