Ricavare il teorema della divergenza
Sia $\omega : U \subset RR^2 \to \Omega_1 (RR^2)$ una $1$-forma differenziale in $RR^2$ (supponiamola almeno $C^1$).
$\omega(x_1 , x_2) = ( f_1 , f_2 ) = f_1 dx_1 + f_2 dx_2$ dove $dx_1$, $dx_2$ sono una base dello spazio $\Omega_1 (RR^2)$ e $f_1 , f_2 \in C^1 (U , RR^2)$.
Sia $G \subset \bar{G} \subset U$ (non si sa mai
).
L'idea è quella di applicare la formula di Stokes-Cartan, cioè $\int_{\partial G} \omega = \int_G d \omega$.
A primo membro abbiamo, banalmente, $\int_{\partial G} \omega = \int_{\partial G} f_1 dx_1 + f_2 dx_2$.
Per calcolare $\int_G d \omega$ bisogna fare il differenziale esterno $d \omega$, definito (in questo caso particolare) come segue:
\[\displaystyle d \omega = \sum_{i = 1}^2 \;\; \sum_{m = 1}^2 \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_m}(x) dx_m \right) dx_i \]
\[\displaystyle = \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x) dx_1 dx_1 + \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x) dx_2 dx_1 + \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x) dx_1 dx_2 + \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x) dx_2 dx_2 \]
\[\displaystyle = \cancel{\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x) dx_1 dx_1} + \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x) dx_2 dx_1 + \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x) dx_1 dx_2 + \cancel{\frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x) dx_2 dx_2} \]
\[\displaystyle = \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x) dx_2 dx_1 + \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x) dx_1 dx_2 \]
\[\displaystyle = - \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x) dx_1 dx_2 + \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x) dx_1 dx_2 \]
\[\displaystyle = \left ( - \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x) + \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x) \right ) dx_1 dx_2 \]
Allora si ha (dalla f. di Stokes-Cartan):
\[\displaystyle \int_{\partial G} f_1(x) dx_1 + f_2(x) dx_2 = \int_G \left ( - \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x) + \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x) \right ) dx_1 dx_2 \]
Per comodità ho posto $x = (x_1,x_2)$.
Ma il teorema della divergenza che conoscevo ha questa forma:
\[\displaystyle \int_{\partial G} f_1(x) dx_2 - f_2(x) dx_1 = \int_G \left ( \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x) + \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x) \right ) dx_1 dx_2 \]
Come mai? Ho sbagliato qualcosa?
$\omega(x_1 , x_2) = ( f_1 , f_2 ) = f_1 dx_1 + f_2 dx_2$ dove $dx_1$, $dx_2$ sono una base dello spazio $\Omega_1 (RR^2)$ e $f_1 , f_2 \in C^1 (U , RR^2)$.
Sia $G \subset \bar{G} \subset U$ (non si sa mai
).L'idea è quella di applicare la formula di Stokes-Cartan, cioè $\int_{\partial G} \omega = \int_G d \omega$.
A primo membro abbiamo, banalmente, $\int_{\partial G} \omega = \int_{\partial G} f_1 dx_1 + f_2 dx_2$.
Per calcolare $\int_G d \omega$ bisogna fare il differenziale esterno $d \omega$, definito (in questo caso particolare) come segue:
\[\displaystyle d \omega = \sum_{i = 1}^2 \;\; \sum_{m = 1}^2 \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_m}(x) dx_m \right) dx_i \]
\[\displaystyle = \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x) dx_1 dx_1 + \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x) dx_2 dx_1 + \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x) dx_1 dx_2 + \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x) dx_2 dx_2 \]
\[\displaystyle = \cancel{\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x) dx_1 dx_1} + \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x) dx_2 dx_1 + \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x) dx_1 dx_2 + \cancel{\frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x) dx_2 dx_2} \]
\[\displaystyle = \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x) dx_2 dx_1 + \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x) dx_1 dx_2 \]
\[\displaystyle = - \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x) dx_1 dx_2 + \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x) dx_1 dx_2 \]
\[\displaystyle = \left ( - \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x) + \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x) \right ) dx_1 dx_2 \]
Allora si ha (dalla f. di Stokes-Cartan):
\[\displaystyle \int_{\partial G} f_1(x) dx_1 + f_2(x) dx_2 = \int_G \left ( - \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x) + \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x) \right ) dx_1 dx_2 \]
Per comodità ho posto $x = (x_1,x_2)$.
Ma il teorema della divergenza che conoscevo ha questa forma:
\[\displaystyle \int_{\partial G} f_1(x) dx_2 - f_2(x) dx_1 = \int_G \left ( \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x) + \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x) \right ) dx_1 dx_2 \]
Come mai? Ho sbagliato qualcosa?
Risposte
Detto grezzamente, dato che sono "appena" giunto a studiare i campi vettoriali, cambiando gli indici e i vettori della base di \(\Omega_1(\mathbb{R}^2)\) hai la stessa formula!
"j18eos":
Detto grezzamente, dato che sono "appena" giunto a studiare i campi vettoriali, cambiando gli indici e i vettori della base di \(\Omega_1(\mathbb{R}^2)\) hai la stessa formula!
Supponevo che una delle due si potesse ricondurre all'altra con un cambio di base. Comunque sia ti sembra corretto il procedimento che ho seguito?
Grazie.
Il procedimento mi sembra inopponibile, sul resto non posso esprimermi con sicurezza!
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