Ricavare eq integrale doppio

[lalla231]

ho sul piano xy la parabola $y=-2x^2+2$ la divido in due per comodità per scrivere il dominio

$0<=y<=2$ , a sinistra$-2x^2+2<=x<=0$ e a ds $0<=x<=-2x^2+2$ prima di impostare l'integrale doppio mi si chiede di tovare l'equazione della superficie della copertura, mi si da indicazione che sezionando con un piano parallelo a z si formano tutti quadrati. qualcuno ha idea di come si scrive questa superficie??

[gugo82]

Rileggi quello che hai scritto e rispondi francamente alla mia domanda:

"Secondo te uno che non ha mai visto l'esercizio di cui parli e che non vive nella tua testa cosa capisce di quello che hai scritto?"

[lalla231]

allora la funzione l' ho ricavata dal disegno dato penso sia esatta è $y=-2x^2+2$ che è una parabola rivolta verso il basso e interseca in $2$ l'asse dell $y$ e sull'asse delle $x$ in $-1$ e $1$. questa è la base dell'area con la quale scrivere il dominio. Bisogna impostare l'integrale doppio ma la funzione da integrare non è data, l'esercizio dice solo che sezionando con un piano parallelo a $z$ si ottengono tutti quadrati. quindi sul piano $zx$ avremo un quadrato di $2*2$, bisogna disegnare in 3d la superficie. Va meglio ora? forse prima in effetti non si capiva...come si fa a ricavare questa funzione?

[gugo82]

Allora, vediamo se ho capito... Hai una regione $D$ come in figura:
[asvg]xmin=-1.5;xmax=1.5;ymin=-0.5;ymax=2.5;
axes("labels");
plot("2-2x^2",-1,1);
text([0,1],"D",right);
var incr = 0.05; // distanza tra due rette verticali

var xm = 2;

var xi = xm/incr;
function fillRegion (xmin, xmax, color) {
var x1, y1,y2;

stroke=color;

for (var x=xmin; x< xmax; x++) {
x1 = -1+incr*x;
y1 = 0;
y2 = 2-2*x1*x1;

// traccia la retta
line([x1,y1 ], [x1, y2]);
}
}

fillRegion(0, xi, "cadetblue");[/asvg]
Si vede che $D$ è delimitata dalla parabola d'equazione $y=2-2x^2$ e dall'asse $x$.

Ora vuoi determinare una funzione definita su $D$ tale che soddisfi qualche proprietà, suppongo... Mi pare di capire che c'entrino qualcosa dei quadrati, ma non riesco a capire dove.
Perchè non riportare tutto il testo dell'esercizio?

[clrscr]

Dunque, dal testo dell'esercizio capisco che, le basi (degli infiniti quadrati) siomo pressappoco quelle linee verticali disegnate nella figura.
Per trovare la superficie totale del solido dovrò sommare tutte le superfici dei singoli quadrati (ovviamente scartando il lato che costituisce la base), quindi:

$\text{Superficie}=2*int_0^1 (-2*x^2+2)*3 dx=8$.

Comunque il testo (almeno per quanto c'è scritto) dice che, "sezionando il solido con un piano parallelo all'asse z si ottiene un quadrato" però di piani paralleli allasse z ne esistono infiniti, per cui la soluzione che ho dato è una delle possibili (e a mio parere una delle più facili).

[lalla231]

per ora non riesco a viualizzare il grafico postato purtroppo, cmq la base è questa parabola e il solido che ha di base questa parabola, con il piano xz ha di sezione un quadrato. ora da questo quadrato seguendo tutta la parabola ce ne sono infiniti altri paralleli al primo che vanno fino al vertice della parabola, si forma così una superficie inclinata, ma non riesco a capire gli "spigoli" superiori di questo solido...si dovrebbe formare un altra parabola allungata o due rette?

[lalla231]

"clrscr":Dunque, dal testo dell'esercizio capisco che, le basi (degli infiniti quadrati) siomo pressappoco quelle linee verticali disegnate nella figura.
Per trovare la superficie totale del solido dovrò sommare tutte le superfici dei singoli quadrati (ovviamente scartando il lato che costituisce la base), quindi:

$\text{Superficie}=2*int_0^1 (-2*x^2+2)*3 dx=8$.

Comunque il testo (almeno per quanto c'è scritto) dice che, "sezionando il solido con un piano parallelo all'asse z si ottiene un quadrato" però di piani paralleli allasse z ne esistono infiniti, per cui la soluzione che ho dato è una delle possibili (e a mio parere una delle più facili).

non ti seguo. perchè moltiplichi per 3 la parabola??? sezioni con un piano parallelo al piano xz!!! e si formano tutti quadrati. quindi quello che hai scritto cos'è?

[clrscr]

Scusa, avevo trovato la soluzione considerando le sezioni parallelel al pino yz...
Comunque per quelle parallele al piano xz si procede nel seguente modo:

$\text{Superficie}=int_0^2 3*int_(-sqrt((y-2)/-2))^(sqrt((y-2)/2)) dx dy= (3*2)/sqrt(2) int_0^2 sqrt(y-2) dy$.

La moltiplicazione per 3 viene fatta perchè ogni quadrato ha 3 lati che fanno parte delle superficie del solido finale.
L'equazione dela superficie del solido dovrebbe essere la seguente:
$S={(0

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[lalla231]

"clrscr":Scusa, avevo trovato la soluzione considerando le sezioni parallelel al pino yz...
Comunque per quelle parallele al piano xz si procede nel seguente modo:

$\text{Superficie}=int_0^2 3*int_(-sqrt((y-2)/-2))^(sqrt((y-2)/2)) dx dy= (3*2)/sqrt(2) int_0^2 sqrt(y-2) dy$.

La moltiplicazione per 3 viene fatta perchè ogni quadrato ha 3 lati che fanno parte delle superficie del solido finale.
L'equazione dela superficie del solido dovrebbe essere la seguente:
$S={(0

non capisco cosa hai fatto, rileggiti il dominio che ho scritto all'inizio, è normale rispetto all'asse y! e poi l'integrale in $dx$ va da $-2x^2-2$ a $0$
e da $0$ a $-2x^2-2$ perchè ho diviso il dominio in due per semplificare poi i calcoli così si calcola solo una parte e la si moltiplica per due alla fine, tu cosa hai fatto????? bisogna trovare la funzione che fa da tetto all'areadi base della parabola così da trovare il volume grazie all'integrale doppio! dove sta la funzione?????

[lalla231]

vorrei rettificare il testo e dare la soluzione del problema da me proposto il testo del problema era:

il solido V ha come base l'area compresa tra l'asse x (da -1 a 1) e la parabola $y=-2x^2+2$ Le sezioni del solido ottenute con piani ortogonali all'asse x sono tuti quadrati.

Descrivere la base come dominio y semplice:

$-1<=x<=1$ $0<=y<=-2x^2+2$

impostare il volume del solido come integrale doppio:

$\int_{-1}^{1}dx \int_{0}^{-2x^2+2} (-2x^2+2) dy$

poi svolgerlo è semplice......tra poco ne posterò un altro con un ellisse spero mi consiglierete...