Ricavare dominio x-semplice
Dato il dominio $A={(x,y): 0<=y<=5x^2, y<=6x-x^2}$ impostare il calcolo dell'integrale doppio su $A$ di una generica funzione $f(x,y)$ continua su $A$, usando l'integrazione per un dominio x-semplice (da integrare dunque per orizzontali).
Dopo averci buttato su un pomeriggio, grazie a funzioni inverse, grafici e contro grafici... sono riuscito ad impostare il seguente integrale doppio:
$int_0^5 int_sqrt(y / 5)^(3 + sqrt(9 - y)) f(x,y) dx dy + int_5^9 int_(3 - sqrt(9 - y))^(3 + sqrt(9 - y)) f(x,y) dx dy $ che dovrebbe essere corretto...
Chiedo però se qualcuno fosse così gentile da illustrarmi un metodo "rapido" per procedere con problemi del genere?
Fosse stato y-semplice non ci sarebbero stati problemi con quel dominio dato, il mio grosso problema è giungere ad un dominio x-semplice partendo da una robetta del genere soprattutto tenendo conto che l'esame è di un'ora e mezza, non posso usare GeoGebra (ovviamente
) e oltre ad integrali doppi e tripli in tutte le salse c'è tutto il programma di Analisi II+calcolo numerico.
Grazie in anticipo
Dopo averci buttato su un pomeriggio, grazie a funzioni inverse, grafici e contro grafici... sono riuscito ad impostare il seguente integrale doppio:
$int_0^5 int_sqrt(y / 5)^(3 + sqrt(9 - y)) f(x,y) dx dy + int_5^9 int_(3 - sqrt(9 - y))^(3 + sqrt(9 - y)) f(x,y) dx dy $ che dovrebbe essere corretto...
Chiedo però se qualcuno fosse così gentile da illustrarmi un metodo "rapido" per procedere con problemi del genere?
Fosse stato y-semplice non ci sarebbero stati problemi con quel dominio dato, il mio grosso problema è giungere ad un dominio x-semplice partendo da una robetta del genere soprattutto tenendo conto che l'esame è di un'ora e mezza, non posso usare GeoGebra (ovviamente
) e oltre ad integrali doppi e tripli in tutte le salse c'è tutto il programma di Analisi II+calcolo numerico.Grazie in anticipo
Risposte
Un problema del genere che richiede solo una rapida impostazione dei calcoli, che non si rivelano complicati, alla fine, dovrebbe richiedere un tempo di 15-20 minuti, secondo me.
Vediamo una "possibile" sequenza di passi (ma forse e' l'unica):
1) Fondamentale: avere un idea visiva di cosa si sta discutendo. Quindi fare un disegno veloce delle curve: $y= 5x^2$ non presenta problemi e va fatta a mano con uno schizzo da 10 secondi. $y = 6x - x^2$ richiede uno sforzo appena maggiore: concavita' verso il basso, intersezioni asse x a 0 e 6, e diventa facile fare uno schizzo sopra la primo.
2) Dallo schizzo dovrebbe essere evidente che ci sono due punti di intersenzione. Il primo, banale, e' a (0,0), il secondo si trova mettendo a sistema le due equazioni. Il sistema è banale e si trova che la seconda intersezione è a (1,5). Individuare l'apice della parabola rovesciata, non dovrebbe essere complicato, dato che l'ascissa e' 3 (la meta' tra le intersezioni con l'asse x), e l'ordinata viene usando la formula stessa della parabola.
3) individuare l'area da calcolare, ovvero sotto a entrambe le parabole e sopra l'asse x. Fare un tratteggio sullo schizzo di prima.
4) Qui viene il cuore dell'esercizio, ovvero capire che l'integrale va spezzato, da 0 a 5 e da 5 a 6. Questo perché cambiano gli estremi di integrazione: in un caso sono i due rami della parabola rovesciata, nell'altro sono un ramo delle due parabole diverse.
5) Invertire le equazioni delle parabole. Se $y = ax^2+ bx +c$ si pone $ ax^2+ bx + c - y = 0$ e diventa un'equazione di 2^ grado da risolvere con la solita formula. Non farsi ingannare dalla presenza della 'y', che va trattata come una banale costante.
6) Attribuire alle curve del grafico le proprie equazioni, spezzando le parabole dei rispettivi rami.
7) Impostare (ovvero scrivere) gli integrali come somma dei due pezzi. Tutti i calcoli sono gia' fatti, vanno solo messi insieme i vari pezzi.
Ognuno di questi punti non dovrebbe richiedere piu' di 2-3 minuti, forse l'inversione delle formule è il pezzo piu' ostico. E' naturale che bisogna avere chiari e consolidati tutti i concetti da usare.
Vediamo una "possibile" sequenza di passi (ma forse e' l'unica):
1) Fondamentale: avere un idea visiva di cosa si sta discutendo. Quindi fare un disegno veloce delle curve: $y= 5x^2$ non presenta problemi e va fatta a mano con uno schizzo da 10 secondi. $y = 6x - x^2$ richiede uno sforzo appena maggiore: concavita' verso il basso, intersezioni asse x a 0 e 6, e diventa facile fare uno schizzo sopra la primo.
2) Dallo schizzo dovrebbe essere evidente che ci sono due punti di intersenzione. Il primo, banale, e' a (0,0), il secondo si trova mettendo a sistema le due equazioni. Il sistema è banale e si trova che la seconda intersezione è a (1,5). Individuare l'apice della parabola rovesciata, non dovrebbe essere complicato, dato che l'ascissa e' 3 (la meta' tra le intersezioni con l'asse x), e l'ordinata viene usando la formula stessa della parabola.
3) individuare l'area da calcolare, ovvero sotto a entrambe le parabole e sopra l'asse x. Fare un tratteggio sullo schizzo di prima.
4) Qui viene il cuore dell'esercizio, ovvero capire che l'integrale va spezzato, da 0 a 5 e da 5 a 6. Questo perché cambiano gli estremi di integrazione: in un caso sono i due rami della parabola rovesciata, nell'altro sono un ramo delle due parabole diverse.
5) Invertire le equazioni delle parabole. Se $y = ax^2+ bx +c$ si pone $ ax^2+ bx + c - y = 0$ e diventa un'equazione di 2^ grado da risolvere con la solita formula. Non farsi ingannare dalla presenza della 'y', che va trattata come una banale costante.
6) Attribuire alle curve del grafico le proprie equazioni, spezzando le parabole dei rispettivi rami.
7) Impostare (ovvero scrivere) gli integrali come somma dei due pezzi. Tutti i calcoli sono gia' fatti, vanno solo messi insieme i vari pezzi.
Ognuno di questi punti non dovrebbe richiedere piu' di 2-3 minuti, forse l'inversione delle formule è il pezzo piu' ostico. E' naturale che bisogna avere chiari e consolidati tutti i concetti da usare.
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