Ricarca max e min rel. di una funzione in due variabili
riesco a trovare correttamente le derivate parziali ma giunto al sistema trovo difficoltà per parecchi esercizi,questo ne è un esempio
$f(x,y)=y^2(x^2+1)*arctg(x)+2x^2y^2-xy^2+2y^3-6y$
per il sistema devo imporre le due derivate parziali uguali a zero e ricavare i punti critici ma non so esattamente come fare,il libro fa solo esempi di sistemi risolvibili tramite sostituzione o sottrazione membro a membro,questo invece è un esercizio preso da vecchie prove d'esame
questo dovrebbe essere il sistema corretto
derivata parziale rispetto a x :$ 2y^2x*arctg(x)+(x^2y^2)/(1+x^2)+(y^2)/(1+x^2)+4xy^2-y^2=0$
derivata parziale rispetto a y :$ 2yx^2*arctg(x)+2y*arctg(x)+4yx^2-2xy+6y^2-6=0 $
sapreste indicarmi il metodo giusto per risolverlo
$f(x,y)=y^2(x^2+1)*arctg(x)+2x^2y^2-xy^2+2y^3-6y$
per il sistema devo imporre le due derivate parziali uguali a zero e ricavare i punti critici ma non so esattamente come fare,il libro fa solo esempi di sistemi risolvibili tramite sostituzione o sottrazione membro a membro,questo invece è un esercizio preso da vecchie prove d'esame
questo dovrebbe essere il sistema corretto
derivata parziale rispetto a x :$ 2y^2x*arctg(x)+(x^2y^2)/(1+x^2)+(y^2)/(1+x^2)+4xy^2-y^2=0$
derivata parziale rispetto a y :$ 2yx^2*arctg(x)+2y*arctg(x)+4yx^2-2xy+6y^2-6=0 $
sapreste indicarmi il metodo giusto per risolverlo
Risposte
ti chiedono gli estremi in tutto R^2 oppure in un dominio più piccolo? non mi pare facile così su due piedi..
Magari se scrivessi meglio le derivate parziali non andresti tanto in confusione:
[tex]$f_x(x,y)=2xy^2\arctan x+y^2(x^2+1)\cdot\frac{1}{1+x^2}+4xy^2-y^2=2xy^2\arctan x+y^2+4xy^2-y^2=2xy^2\left[\arctan x+2\right]$[/tex]
[tex]$f_y(x,y)=2y(x^2+1)\arctan x+4x^2 y-2xy+6y^2-6$[/tex]
A questo punto, basta capire per quali valori [tex]$f_x(x,y)=0$[/tex] e ragionare, di conseguenza, su ciò che accade a [tex]$f_y(x,y)$[/tex]
[tex]$f_x(x,y)=2xy^2\arctan x+y^2(x^2+1)\cdot\frac{1}{1+x^2}+4xy^2-y^2=2xy^2\arctan x+y^2+4xy^2-y^2=2xy^2\left[\arctan x+2\right]$[/tex]
[tex]$f_y(x,y)=2y(x^2+1)\arctan x+4x^2 y-2xy+6y^2-6$[/tex]
A questo punto, basta capire per quali valori [tex]$f_x(x,y)=0$[/tex] e ragionare, di conseguenza, su ciò che accade a [tex]$f_y(x,y)$[/tex]
ciampax hai ragione,l'illuminazione ,se così si può chiamare, mi è venuta in aula stamattina xD,grazie mille comunque
eccone un'altra capricciosa
f(x,y)=$(yx^2+y^3)e^(-y*(x^2+y^2))$
le due derivate parziali sono
fx=$ 2xy*(1-x^(2)y-y^3)e^(-y*(x^2+y^2)=0$
fy=$(x^2+3y^2)(1-x^(2)y-y^3)e^(-y*(x^2+y^2)=0$
l'esponenziale non è mai uguale a zero ma non so proseguire
f(x,y)=$(yx^2+y^3)e^(-y*(x^2+y^2))$
le due derivate parziali sono
fx=$ 2xy*(1-x^(2)y-y^3)e^(-y*(x^2+y^2)=0$
fy=$(x^2+3y^2)(1-x^(2)y-y^3)e^(-y*(x^2+y^2)=0$
l'esponenziale non è mai uguale a zero ma non so proseguire
Ma sei proprio certo di quello che hai scritto? Guarda che ad esponente della $e$ deve rimanere sempre la stessa roba.
si scusami ho corretto a scrivere
Come osservavi gli esponenziali sono sempre diversi da zero, quindi puoi cancellarli. Però mi chiedo (non ho fatto i conti): le derivate parziali sono proprio quelle? hai fatto delle semplificazioni e raccoglimenti?
"ciampax":
Come osservavi gli esponenziali sono sempre diversi da zero, quindi puoi cancellarli. Però mi chiedo (non ho fatto i conti): le derivate parziali sono proprio quelle? hai fatto delle semplificazioni e raccoglimenti?
solo raccoglimenti,ti faccio i passaggi intermedi
fx= $2xy(e^(-y*(x^2+y^2)))+(x^(2)y+y^3)(-2xy)e^(-y*(x^2+y^2)$
fy=$(x^2+3y^2)(e^(-y*(x^2+y^2)))+(x^(2)y+y^3)(-x^2-3y^3)e^(-y*(x^2+y^2)$
nella prima ho messo in evidenza$ 2xy(e^(-y*(x^2+y^2)))$
nella seconda $(x^2+3y^2)(e^(-y*(x^2+y^2)))$ le derivate dovrebbe essere quelle insomma
Sì, le ho controllate, sono giuste. Allora, quello che hai è il sistema:
[tex]$2xy(1-x^2y-y^3)=0,\ (x^2+3y^2)(1-x^2y-y^3)=0$[/tex]
Osserva che se [tex]$1-x^2y-y^3=0$[/tex] allora entrambe le derivate si annullano, per cui tutti i punti di della curva data da quella equazione sono punti stazionari. Altrimenti deve essere [tex]$x=0,\ y=0$[/tex] perché si annullino entrambe.
[tex]$2xy(1-x^2y-y^3)=0,\ (x^2+3y^2)(1-x^2y-y^3)=0$[/tex]
Osserva che se [tex]$1-x^2y-y^3=0$[/tex] allora entrambe le derivate si annullano, per cui tutti i punti di della curva data da quella equazione sono punti stazionari. Altrimenti deve essere [tex]$x=0,\ y=0$[/tex] perché si annullino entrambe.
quindi la ricerca dei massimi e dei minimi si riduce allo studio del punto stazionario (0,0)?
E a quella di tutti i punti che stanno sulla curva di equazione [tex]$1-x^2y-y^3=0$[/tex]
il prof non ci ha mai fatto esempi di questo genere,proverò a vedere un pò che dice il libro circa punti stazionari su curve,grazie cmq!
ciampax credo di non aver capito,il libro mi da solo esercizi in cui è scontata o banale la ricerca dei punti stazionari,in questi casi come si procede?
qualcuno saprebbe indicarmi comq vanno ricercati questi punti stazionari sulla curva di equazione $1-x^2y-y^3$ ?
sono certo che il prof non ci abbia spiegato il sistema dei moltiplicatori di lagrange,sul libro è riportato questo metodo heklp!!!
per caso si fa semplicemente una nuova ricerca dei massimi e dei minimi di questa funzione,imponendo le sue derivate parziali uguali a zero?
sono certo che il prof non ci abbia spiegato il sistema dei moltiplicatori di lagrange,sul libro è riportato questo metodo heklp!!!
per caso si fa semplicemente una nuova ricerca dei massimi e dei minimi di questa funzione,imponendo le sue derivate parziali uguali a zero?
qualcuno mi aiuta? 
Ancora qua stai? Allora, quello che dovresti fare è la cosa seguente: restringere la funzione originale alla curva data e ragionare su essa come se fosse una funzione di una variabile. Osserva infatti che puoi scrivere $x=\pm\sqrt{\frac{1-y^3}{y}}$ sulla curva, valore che puoi sostituire nella funzione e determinare cosa succede. E' un po' come quando si fa la ricerca di massimi e minimi vincolati.
mi manca l'orale,il prof mi conserva lo scritto per un anno e mi farà fare gli esercizi che non ho fatto ,mi toccherà sicuramente qualcosa del genere :S
grazie cmq
grazie cmq
"ciampax":
Ancora qua stai? Allora, quello che dovresti fare è la cosa seguente: restringere la funzione originale alla curva data e ragionare su essa come se fosse una funzione di una variabile. Osserva infatti che puoi scrivere $x=\pm\sqrt{\frac{1-y^3}{y}}$ sulla curva, valore che puoi sostituire nella funzione e determinare cosa succede. E' un po' come quando si fa la ricerca di massimi e minimi vincolati.
ho capito,devo studiare il segno della derivata di questa funzione $f(x,y)=(\pm\sqrt{\frac{1-y^3}{y}};y)$ giusto?
ora chiedo a voi matematici,non sarebbe più semplice scriverla nell'altra variabile cercando effettuare qualche sostituzione?
sarebbe $ x^2+y^2=1/y $
Anche, dipende da come ti trovi meglio. Pensa che io, invece, cercherei una parametrizzazione per la curva! 
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