Rettificabilità di una curva
Buondì, avrei bisogno di una conferma/chiarimento riguardo alle curve rettificabili.
Io so che una curva è rettificabile se l'estremo superiore delle lunghezze della poligonale è finito. Però siccome la curva in questione è regolare per requisito, il suo vettore tangente è sempre definito e quindi questo estremo superiore corrisponde alla lunghezza della curva stessa (integrando da inizio a fine).
La mia domanda sarebbe: come verifico che una curva sia rettificabile?
La mia risposta (che ha bisogno di conferma/chiarimento) è: se ne calcolo la lunghezza e la scopro finita la curva è rettificabile, perchè significa che è finito l'estremo superiore delle lunghezze della poligonale.
Ha senso o mi sono perso qualcosa? C'è un altro modo per verificare?
Grazie
Io so che una curva è rettificabile se l'estremo superiore delle lunghezze della poligonale è finito. Però siccome la curva in questione è regolare per requisito, il suo vettore tangente è sempre definito e quindi questo estremo superiore corrisponde alla lunghezza della curva stessa (integrando da inizio a fine).
La mia domanda sarebbe: come verifico che una curva sia rettificabile?
La mia risposta (che ha bisogno di conferma/chiarimento) è: se ne calcolo la lunghezza e la scopro finita la curva è rettificabile, perchè significa che è finito l'estremo superiore delle lunghezze della poligonale.
Ha senso o mi sono perso qualcosa? C'è un altro modo per verificare?
Grazie
Risposte
Quale definizione di lunghezza di una curva usi?
"otta96":
Quale definizione di lunghezza di una curva usi?
Sia $r:[a,b]->R^m$ una parametrizzazione di un arco di curva $gamma$ continuo. Considero una partizione dell'intervallo in questione e vi associo la poligonale inscritta alla curva. Al variare della partizione corrispondono poligonali diverse. La lunghezza è il "maggiore" dei valori della poligonale che riesco a ottenere (se c'è) variando la partizione, che ovviamente deve essere finito.
"arnett":
Quanto alla questione se basti calcolare la lunghezza e trovare che è finita per mostrare che una curva è rettificabile, non lo so ma la trovo una domanda interessante e sono anche io interessato a conoscerne la risposta. Però osservo una cosa: la formula di calcolo della lunghezza come integrale della norma del vettore tangente viene ricavata applicando "all'indietro" il teorema fondamentale del calcolo integrale e presuppone appunto la continuità di $r'(t)$, quindi a intuito non ci sono buoni motivi per cui tale formula debba valere se non soddisfatte le ipotesi di regolarità che dicevo sopra, che assicurano anche la rettificabilità della curva.
(A questo punto bisognerebbe trovare un controesempio in cui \[\int_{a}^{b} \Vert r'(t) \Vert dt\] esista finito pur non essendo la curva rettificabile).
Hmm, hai ragione. Che abbia lunghezza finita è ridondante se come condizione è necessaria la regolarità che già di per sé determina rettificabilità. Riguardo il tuo ultimo punto, non credo sia possibile. Geometricamente la rettificabilità (che io sappia) si visualizza come la possibilità di racchiudere la curva in un rettangolo di dimensioni finite. Se la lunghezza è finita, sarà sempre possibile costruire quel rettangolo, dunque la curva sarà sempre rettificabile.
"Silence":
La mia domanda sarebbe: come verifico che una curva sia rettificabile?
"arnett":
$ r:[a, b]\to\mathbb{R}^n $ è di classe $ C^1 $ allora è rettificabile
PS: la regolarità non da alcun fastidio nel calcolo della lunghezza, curve regolari di classe $C^1$ rimangono rettificabili infatti la condizione di essere classe $C^(1)$ è sufficiente
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