Rette tangenti e secanti al grafico di una funzione

[Gp741]

Salve a tutti! Volevo porre il seguente quesito: è vero che, data una funzione $f(x)$, puo esistere la posizione limite della retta tangente in un p.to $x_0$ e contemporoneamente non esiste la posizione limite delle rette secanti in $x_0$? Cioè è possibile che non esista finito il limite del rapporto incrementale di una funzione in un punto $x_0$ ma esista finito il limite di $lim_(x->x_0) (f^{\prime}(x))$? Secondo la mia prof. si,e sostiene quindi che sia piu conveniente calcolare il limite del rapporto incrementale di una funzione in un punto $x_0$ per stabilire la derivabilità della funzione in $x_0$(in quanto se invece si calcola $lim_(x->x_0) (f^{\prime}(x))$ per stabilire la derivabilità di $f$ in $x_0$ e si trova che non è finito non è detto che il limite del rapporto incrementale di $f$ in $x_0$ debba non essere finito o non esistere.); è vero ciò?? (Ps qualkuno conosce il nome (o almeno l'enunciato) di quel teorema che permette di stabilere la derivabilità di una funzione in un suo punto $x_0$ calcolando il limite per $x$ tendente a $x_0$ della derivata prima?)

[Fioravante Patrone1]

1. Si', la tua prof ha ragione. Basta prendere una funzione (non a caso discontinua..) che vale:
-1 per x<0, 0 per x=0, 1 per x>0

2. quel risultato non so se ha un "nome", comunque fa parte del milieu in cui trovi i teoremi di Rolle - Lagrange - Cauchy - Hopital