Rette tangenti
Sia $ f(x)=x^3-x $
1- Esiste un punto $ P_0 in R^2 $ tale che per $P_0$ non passa nessuna retta tangente al grafico di f?
2- Esiste un punto $P_3 in R^2$ tale che per $P_3$ passano 3 rette distinte, ciascuna tangente al grafico di f?
Allora il primo punto l'ho svolto così, a meno di errori:
prendo P=(x,y) la retta tangente al punto sarà:
$ y=f(t)+f'(t)(x-t) $
e quindi: $ y=t^3 -x+(3t^2-1)(x-t) $ alla fine ho:
$ 2t^3-3t^2+x+y=0 $
affinché $P_0$ esista, quest'equazione non dovrebbe mai avere soluzioni, ma siccome usando il teorema degli zeri dimostro che ha almeno uno zero reale, ne segue che $P_0$ non esiste. Fin qui è giusto?.
Per il secondo punto, ancora non sono sicura di come svolgerlo..cioè in pratica devo dimostrare che l'equazione qui sopra ha 3 zeri distinti, ma come faccio?
1- Esiste un punto $ P_0 in R^2 $ tale che per $P_0$ non passa nessuna retta tangente al grafico di f?
2- Esiste un punto $P_3 in R^2$ tale che per $P_3$ passano 3 rette distinte, ciascuna tangente al grafico di f?
Allora il primo punto l'ho svolto così, a meno di errori:
prendo P=(x,y) la retta tangente al punto sarà:
$ y=f(t)+f'(t)(x-t) $
e quindi: $ y=t^3 -x+(3t^2-1)(x-t) $ alla fine ho:
$ 2t^3-3t^2+x+y=0 $
affinché $P_0$ esista, quest'equazione non dovrebbe mai avere soluzioni, ma siccome usando il teorema degli zeri dimostro che ha almeno uno zero reale, ne segue che $P_0$ non esiste. Fin qui è giusto?.
Per il secondo punto, ancora non sono sicura di come svolgerlo..cioè in pratica devo dimostrare che l'equazione qui sopra ha 3 zeri distinti, ma come faccio?
Risposte
Ah ecco ho provato così, mi sono presa due valori di x ed y. Es x=1 ed y=1/2 poi risolvendo l'equazione in t, mi sono trovata 3 valori distinti...penso che così vada bene..
Secondo me hai scritto un po' male il primo: se supponi che il tuo punto abbia ascissa $x=t$, allora mi pare ovvio che debba essere $P_0(t,t^3-t)$. A questo punto nell'equazione della retta tangente hai
$$y=t^3-t+(3t^2-1)(x-t)=(3t^2-1)x-2t^3$$
non ti pare? Ma non ho ben capito come arrivi alla conclusione: quello che dovresti far vedere è che non c'è alcun punto della curva che abbia questa come retta tangente e non ho ben capito come ci arrivi (a prescindere dall'esattezza dell'equazione).
Per il secondo, invece, ti basta considerare nuovamente la retta generica precedente e verificare se essa interseca la curva data in altri due punti (distinti da $x=t$) per una opportuna scelta di $t$.
$$y=t^3-t+(3t^2-1)(x-t)=(3t^2-1)x-2t^3$$
non ti pare? Ma non ho ben capito come arrivi alla conclusione: quello che dovresti far vedere è che non c'è alcun punto della curva che abbia questa come retta tangente e non ho ben capito come ci arrivi (a prescindere dall'esattezza dell'equazione).
Per il secondo, invece, ti basta considerare nuovamente la retta generica precedente e verificare se essa interseca la curva data in altri due punti (distinti da $x=t$) per una opportuna scelta di $t$.
Alla conclusione ci sono arrivata considerando che, essendo quella un'equazione di terzo grado io so per il teorema degli zeri che avrà sicuramente uno zero reale, quindi il punto P non potrà esistere.
per il secondo punto ho provato a determinarmi due valori precisi..
per il secondo punto ho provato a determinarmi due valori precisi..
Ah no, aspetta, ho letto male l'esercizio. La questione, in entrambi i casi è completamente diversa da come la pensavo: la richiesta è che questo fantomatico punto sia un punto qualsiasi del piano, non un punto della curva. Per cui dovresti procedere così: indica con $P(a,b)$ questo generico punto e considera il fascio di rette passante per esso:
$$y-b=m(x-a)$$
Ora, dovrai chiederti:
1) esiste una particolare scelta dei valori di $a,b,m$ per cui, indicata con
$$y=(3t^2-1)x-2t^3$$
una generica tangente in un punto alla curva, dove $(t,t^3-t)$ è un punto della curva, la retta dipendente da $a,b,m$ non coincida mai con alcuna di queste tangenti? Se rigiri il problema, puoi interpretarlo così: quali sono le scelte di $a,b,m$ che mi forniscono le rette tangenti? E quindi, cosa mi basta fare per non ottenerne?
2) di nuovo, dovrai determinare l'esistenza di $a,b$ e tre valori $m$ in modo che le rette con tali coefficienti angolari e passanti per $(a,b)$ siano tangenti alla curva precedente.
In sostanza in entrambi i casi dovrai discutere una sorta di sistema di equazioni che viene fuori costruendo una "uguaglianza" tra le due rette che ti ho scritto.
$$y-b=m(x-a)$$
Ora, dovrai chiederti:
1) esiste una particolare scelta dei valori di $a,b,m$ per cui, indicata con
$$y=(3t^2-1)x-2t^3$$
una generica tangente in un punto alla curva, dove $(t,t^3-t)$ è un punto della curva, la retta dipendente da $a,b,m$ non coincida mai con alcuna di queste tangenti? Se rigiri il problema, puoi interpretarlo così: quali sono le scelte di $a,b,m$ che mi forniscono le rette tangenti? E quindi, cosa mi basta fare per non ottenerne?
2) di nuovo, dovrai determinare l'esistenza di $a,b$ e tre valori $m$ in modo che le rette con tali coefficienti angolari e passanti per $(a,b)$ siano tangenti alla curva precedente.
In sostanza in entrambi i casi dovrai discutere una sorta di sistema di equazioni che viene fuori costruendo una "uguaglianza" tra le due rette che ti ho scritto.
E' sì per il primo punto quindi sbaglio a concludere nel modo che ho detto io? ho semplicemente provato ad applicare il teorema degli zeri..cioè io ho sicuramente un valore reale per cui quell'equazione che ho si risolve e quindi P non potrà esistere.. per il secondo punto ho la stessa equazione, ma in pratica devo trovare 3 radici distinte
Non credo che il ragionamento che fai sia corretto: l'equazione dipende anche da generici valori $x,y$ che non possono essere le coordinate del punto in questione. Ti conviene ragionare come ti ho detto.
Mmm ok, grazie mille 
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