Retta tangente all’ellisse
Buongiorno,
vorrei svolgere questo esercizio.
17) Dimostrare che la retta tangente all’ellisse $ x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 $ in un punto $ (x1, y1) $ della stessa ha equazione $ x1*x/a^2 + y1*y/b^2 = 1 $ . Usare questa formula per determinare le rette tangenti all’ellisse $ x^2 + 4y^2 = 5 $ e passanti per il punto esterno $ (−5, 0) $ .
Come primo passo ho esplicitato la y da $ x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 $ ottenendo $ y=(sqrt(b^2(1-x^2/a^2)) $ e quindi $ y' = -((b^2 x)/(a^2 sqrt[b^2 (1 - x^2/a^2)])) $ e quindi $ y'(x1) = -(b^2 (x1)/(a^2 sqrt(b^2 (1 - (x1)^2/a^2)))) $.
Ora sostituisto in $ y - y1 = y'(x1) * (x-x1) $ implica $ y = -(b^2 (x1)/(a^2 sqrt[b^2 (1 - (x1)^2/a^2)])) (x-x1) + y1 $.
Ora come dimostro che quest'ultima è uguale a $ x1*x/a^2 + y1*y/b^2 = 1 $ ?
vorrei svolgere questo esercizio.
17) Dimostrare che la retta tangente all’ellisse $ x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 $ in un punto $ (x1, y1) $ della stessa ha equazione $ x1*x/a^2 + y1*y/b^2 = 1 $ . Usare questa formula per determinare le rette tangenti all’ellisse $ x^2 + 4y^2 = 5 $ e passanti per il punto esterno $ (−5, 0) $ .
Come primo passo ho esplicitato la y da $ x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 $ ottenendo $ y=(sqrt(b^2(1-x^2/a^2)) $ e quindi $ y' = -((b^2 x)/(a^2 sqrt[b^2 (1 - x^2/a^2)])) $ e quindi $ y'(x1) = -(b^2 (x1)/(a^2 sqrt(b^2 (1 - (x1)^2/a^2)))) $.
Ora sostituisto in $ y - y1 = y'(x1) * (x-x1) $ implica $ y = -(b^2 (x1)/(a^2 sqrt[b^2 (1 - (x1)^2/a^2)])) (x-x1) + y1 $.
Ora come dimostro che quest'ultima è uguale a $ x1*x/a^2 + y1*y/b^2 = 1 $ ?
Risposte
Non mi pare sia Analisi Matematica questa. Piuttosto, direi Geometria Analitica.
Bisognerebbe dirlo al mio professore di analisi 1...
E allora facciamola diventare analisi 
Data la curva $varphi(t)=(acos(t),bsin(t)),t in[0,2pi]$
Trovare l’equazione della retta tangente alla curva(ellisse) in un punto $varphi(t)$
Sarà banalmente $varphi(t)+<(dvarphi(t))/dt>$
Questa però usa concetti di analisi 2.
Ora a parte lo scherzo
Quella mostrata dall’utente usa il concetto di derivata di funzione di una variabile reale e quindi di analisi 1.
C’è anche un modo per trovare la tangente a una conica ricorrendo solo a strumenti algebrici.
Data la curva $varphi(t)=(acos(t),bsin(t)),t in[0,2pi]$
Trovare l’equazione della retta tangente alla curva(ellisse) in un punto $varphi(t)$
Sarà banalmente $varphi(t)+<(dvarphi(t))/dt>$
Questa però usa concetti di analisi 2.
Ora a parte lo scherzo
Quella mostrata dall’utente usa il concetto di derivata di funzione di una variabile reale e quindi di analisi 1.
C’è anche un modo per trovare la tangente a una conica ricorrendo solo a strumenti algebrici.
C'era sul mio libro di liceo questa, si chiamano formule di sdoppiamento per le coniche, non richiedono consocenze di analisi
"Vulplasir":
C'era sul mio libro di liceo questa, si chiamano formule di sdoppiamento per le coniche, non richiedono consocenze di analisi
Quanto erano belli i tempi delle formule di sdoppiamento
Mi riferivo proprio a queste, però l’analisi è potentissima.
"Cantor99":
Qui è dimostrata con la sola pazienza
http://www.whymatematica.com/?p=1318
È quello di cui parlava vulplasir.
Secondo me è molto più semplice. La retta è già data quindi bisogna solo verificare la condizione di tangenza. Ovvero, se \(y_1\ne 0\), risolvere la \(y\) come funzione di \(x\) nell'equazione della retta e sostituire \(y=y(x)\) nell'equazione dell'ellisse. Si ottiene un polinomio di secondo grado in \(x\) che si annulla in \(x_1\). Se tale polinomio si annulla con ordine 2, allora la retta è tangente.
Il vantaggio di questa verifica è che è molto più semplice risolvere \(y=y(x)\) nell'equazione della retta che in quella dell'ellisse.
Il vantaggio di questa verifica è che è molto più semplice risolvere \(y=y(x)\) nell'equazione della retta che in quella dell'ellisse.
Si ma in quel caso hai verificato che l'equazione è quella, non lo hai dimostrato, che quasi sicuramente è quello che voleva chi ha scritto l'esercizio, dato che la dimostrazione non è brevissima
Ma è un esercizio di analisi matematica 1, perché non dovrebbe usare le derivate?
Di analisi non ha niente, cosí come gli altri esercizi dello stesso OP. Il prof. in questione non ha ben chiaro cosa sia l'analisi e cosa siano i problemini di calcolo da liceo.
"anto_zoolander":
Ma è un esercizio di analisi matematica 1, perché non dovrebbe usare le derivate?
Non hai tutti i torti nel senso che ora spiego.
Con gli strumenti dell'Analisi possiamo risolvere alcuni esercizi in maniera più veloce. Tra cui questo (se impostato correttamente). Non v'è dubbio alcuno.
Tuttavia questo è un tipico esercizio di Geometria Analitica da liceo, come già qualcuno ha detto prima. Non che non possa essere risolto con l'Analisi.
Diciamo, però, che usare l'Analisi qui è un po' come "vincere facile" andando in gara con la Ferrari mentre gli altri sono in bicicletta.
In other hand... questo quesito è molto più simile a quelli proposti in un eserciziario di Geometria Analitica. In uno di Analisi direi di no.
Ma ritengo che sia un buon modo per giocare e prendere visione dei concetti di alcune cose dell'Analisi.
Ciao, a presto
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