Retta tangente alla curva di livello
Come da titolo, vorrei chiedervi come si trova l'equazione di una retta tangente alla curva di livello in un assegnato punto.
Mi basta un semplice esempio svolto niente più.
La mia idea era di sfruttare il vettore gradiente e trovare un vettore ad esso perpendicolare tramite condizione di perpendicolarità dei vettori ( prodotto scalare nullo intendo).
Tuttavia, se mai dovesse essere giusto il ragionamento, ancora non avrei una retta tangente alla curva di livello, ma semplicemente un vettore ad essa parallelo credo.
Potreste gentilmente mostrarmi il procedimento sulla base di un semplice esempio?
Ad es: f(x,y)=x^2-y^2 in (2,-1)
Grazie
Mi basta un semplice esempio svolto niente più.
La mia idea era di sfruttare il vettore gradiente e trovare un vettore ad esso perpendicolare tramite condizione di perpendicolarità dei vettori ( prodotto scalare nullo intendo).
Tuttavia, se mai dovesse essere giusto il ragionamento, ancora non avrei una retta tangente alla curva di livello, ma semplicemente un vettore ad essa parallelo credo.
Potreste gentilmente mostrarmi il procedimento sulla base di un semplice esempio?
Ad es: f(x,y)=x^2-y^2 in (2,-1)
Grazie
Risposte
Vai bene fino adesso. Ora scrivi l'equazione della retta avente il vettore da te trovato come vettore di direzione, e passante per il punto assegnato.
Ciao victorr.
La relazione che hai scritto è vera ed piuttosto evidente/facile in questo casistica, visto che le proiezioni della superficie/curve di livello stanno sul piano XY, quindi in $RR^2$.
Stabiliamo che la Y dipenda da X (come al solito, ma è indifferente) abbiamo $x^2-y^2=a$ dove $a$ sono le altezze, ovvero i piani paralleli a XY che tagliano a fette la superficie e creano le proiezioni.
Se deriviamo entrambi i membri rispetto ad x (derivazione implicita) otteniamo:
$2x+2yy'=0 rArr y'=(dy)/(dx)=x/y=-f_x/f_y$
Infatti se calcoliamo il vettore gradiente abbiamo $ = <2x,-2y>$
Il vettore perpendicolare ad esso è $ = <-2y,-2x>$
Pertanto la nota ugualianza $(dy)/(dx)=-f_x/f_y=(-2x)/(-2y)=x/y$
La relazione che hai scritto è vera ed piuttosto evidente/facile in questo casistica, visto che le proiezioni della superficie/curve di livello stanno sul piano XY, quindi in $RR^2$.
Stabiliamo che la Y dipenda da X (come al solito, ma è indifferente) abbiamo $x^2-y^2=a$ dove $a$ sono le altezze, ovvero i piani paralleli a XY che tagliano a fette la superficie e creano le proiezioni.
Se deriviamo entrambi i membri rispetto ad x (derivazione implicita) otteniamo:
$2x+2yy'=0 rArr y'=(dy)/(dx)=x/y=-f_x/f_y$
Infatti se calcoliamo il vettore gradiente abbiamo $
Il vettore perpendicolare ad esso è $
Pertanto la nota ugualianza $(dy)/(dx)=-f_x/f_y=(-2x)/(-2y)=x/y$
"dissonance":
Vai bene fino adesso. Ora scrivi l'equazione della retta avente il vettore da te trovato come vettore di direzione, e passante per il punto assegnato.
Ciao grazie per la risposta.
Ho provato con un paio di esercizi e riesco ad arrivare al risultato.
Ti dico cosa ho fatto, così mi dici se è quello che intendevi.
Ti chiedo di avere pazienza, ma le mie conoscenze di geometria ed algebra sono quelle delle superiori e da allora sono passati parecchi anni e sto cercando di recuperare pian piano.
Ritornando all'esempio di prima:
Per il gradiente nel punto ho trovato in gradf(2,-1)=4i+2j questo l'ho moltiplicato scalarmente con il vettore
v=(x-2)i+(y+1)j ponendo il prodotto scalare uguale a 0.
Semplificando ho ottenuto 2x+y=3.
A questo punto vorrei anche chiederti: Si può vedere l'equazione ottenuta come una derivata direzionale nulla della f(x,y), ammesso che la funzione sia differenziabile?
@Bokonon grazie della risposta, gli dò un'occhiata appena posso più tardi
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