Retta Tangente alla curva di livello

[Bisteccone]

ragazzi, ho questa funzione
$f(x,y)=x^3-2y^3+3xy^2-6x$ e devo trovare la retta tangente nel punto $(0,0)$ alla curva di livello $f(x,y)=0$
so che in questo punto la funzione è continua perchè il limite per x e y che tendono a 0 è 0, però poi applicando la formula
$y=-(f_x(0,0))/(f_y(0,0))$ mi esce $y=-6/0$ quindi come dovrei procedere?

[Luca.Lussardi]

Quella formula che hai scritto per la derivata richiesta vale solo quando puoi esplicitare localmente, usando il teorema della funzione implicita, la curva data come grafico di una funzione $y=y(x)$; nel tuo caso questo non è infatti possibile, proprio per quello zero al denominatore. È facile però rispondere alla domanda se ci pensi un attimo a cosa vuol dire $f_y(0,0)=0$.

[Bisteccone]

scusa ma non riesco a capire

[Emar1]

Aggiungo un hint: che relazione geometrica intercorre tra il gradiente della funzione $f$ e le proprie curve di livello?

[Bisteccone]

beh, il gradiente nel punto (x0 , y0) è un vettore perpendicolare alla tangente alla curva di livello della funzione a quota z0 = f(x0 , y0)

[Emar1]

Ok, corretto. Mettiti nel piano \(z = 0\). Pensa ora alla relazione geometrica che hai esposto e a quello che ti ha detto Luca...

[Bisteccone]

bo scusa, ancora non riesco a capire

[Emar1]

Quanto vale il gradiente nel punto $(0,0)$?

[Bisteccone]

(-6,0)

[Emar1]

Ok, quindi in che direzione è rivolto nel piano?

[Bisteccone]

parte dall'origine e si sposta verso sinistra lungo l'asse delle x

[Emar1]

Ok e quindi il vettore tangente che direzione ha? Una volta trovato non ti resta che scrivere l'equazione della retta tangente