Retta tangente al grafico.

[galles90]

Buonasera,

Sia \(\displaystyle f(x)=2x+logx \), provare che \(\displaystyle f \) è invertibile sul suo dominio \(\displaystyle D \) e calcolare la retta tangente nel punto \(\displaystyle y=2 \).

\(\displaystyle domf=x\in \mathbb{R}:x>0 \).
Per verificare che \(\displaystyle f \) risulti invertibile, provo che:
1) iniettiva,
2) suriettiva.

1-Essendo somma di due funzioni continue e monotone, ne segue che \(\displaystyle f \) è iniettiva.
2-Per la suriettività, considero un \(\displaystyle f(D) \) l'immagine dell'insieme \(\displaystyle D \), quindi concludo che \(\displaystyle f \) è suriettiva.
Pertanto \(\displaystyle f \) è invertibile.

Equazione retta tangente :

\(\displaystyle y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \)

mi chiede di calcolare nel punto in cui \(\displaystyle y=2 \), su questo non so come procedere. Ho provato qual'ora fosse necessario a ricavarmi il valore di \(\displaystyle x_0 \) per poi sostituirlo nell'equazione della retta tangente.

Cordiali saluti.

[killing_buddha]

Mica hai dimostrato che $f$ è suriettiva, hai solo accumulato un'accozzaglia di parole prova così: $f$ è continua e $D$ è connesso, quindi $f(D)$ è connesso; se non fosse tutto $RR$, $f(D)$ sarebbe limitato (perché se \(y\notin f(D)\), allora \(f(D) \subseteq B(0,y]\)); questo però è assurdo, perché $f$ non è limitata (\(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)).

[killing_buddha]

"galles90":
mi chiede di calcolare nel punto in cui \(\displaystyle y=2 \), su questo non so come procedere. Ho provato qual'ora fosse necessario a ricavarmi il valore di \(\displaystyle x_0 \) per poi sostituirlo nell'equazione della retta tangente.

Cordiali saluti.

Per quanto riguarda questa domanda, è abbastanza ovvio per quale $\xi$ si abbia $f(\xi)=2$, dai quanto fa \(\log 1\)?

[anto_zoolander]

Oppure,

Sicuramente $f$ é iniettiva.
Se per assurdo non fosse suriettiva allora $existsy inRR:f^(leftarrow)({y})=emptyset$ ovvero la sua fibra è vuota.
Poiché $f$ è strettamente crescente e illimitata sicuramente possiamo prendere due valori $x,z inD:f(x)

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[galles90]

Grazie ad entrambi.
Comunque l'eq. retta tangente al grafico è \(\displaystyle y=3x-1 \) nel punto in cui \(\displaystyle y=2 \).