Retta tangente ad una curva con Dini

[liam-lover]

Ho due esercizi molto simili sul calcolo della retta tangente ad una curva con il teorema del Dini. Potete dirmi se ho sbagliato qualcosa?

1) $ f(x,y)=x(x-1)^2+2xy^2-x $

La curva ha equazione $ f(x,y)=f(1, -sqrt6/4) $.

Devo trovare l'equazione della retta tangente nel punto $ P (1, -sqrt6/4) $.



Svolgimento:

$ F(x,y)=f(x,y)-f(1, -sqrt6/4) $

F è differenziabile perché ha derivate parziali continue nel punto ( $ F_x=-1/4 $ , $ F_y=-sqrt(6) $.
Il teorema del Dini ci assicura che esista una funzione y=h(x) tale che:

$ h'(x)=-(F_x(x0, y0))/(F_y(x0,y0))=-1/(4sqrt6) $

Quindi $ y=f'(x0)(x-x0)+f(x0) = -x-5 $ è l'equazione della retta tangente.



2) $ f(x,y) = (x^2+2x+2y)(y-x) $
La curva ha equazione $ f(x,y)=-2x $.
$ P(1, 1/2) $

Seguo lo stesso procedimento di sopra e ottengo $ y=11/6 -4/3 x $.

[@melia]

Non capisco, trovi il coefficiente angolare $-1/(4sqrt6)$ e poi sostituisci $-1$?

[liam-lover]

Hai ragione.
Rifacendo i calcoli ottengo $ y=(-5-x)/(4sqrt6) $ .

[@melia]

In ogni caso i conti non mi tornano, puoi rivedere la $F'_x(x_0,y_0)$? Magari ho sbagliato io, ma mi viene $-5/4$.

[liam-lover]

$ F(x,y)=x(x-1)^2+2xy^2-x+1/4 $

$ F_x(x,y)=(x-1)^2 +2x(x-1)+2y^2-1 $

$ F_x(1,-sqrt6/4)=3/4-1=-1/4 $