Retta tangente ad una curva.
Ciao! 
Sto studiano il capitolo delle rette in $R^n$ e precisamente il capitolo riguardante le equazioni della retta tangente ad una curva.
Il primo esempio citato, per far capire le equazioni è il seguente:
"La retta tangente alla circonferenza di equazioni parametriche:
$ { (x= 2cos t),( y= 2 sint ):} $ con $ t in [ 0, 2pi ] $
nel suo punto $Po = (x(pi/3) , y(pi/3) ) = (1, sqrt3) $
ha equazioni:
$ { (x= 1 -sqrt3 u),( y= sqrt3 + u):} $
La mia domanda è: come è stato possibile ricavare i seguenti valori, $(1, sqrt3) $ del punto $Po$ ?
grazie
Sto studiano il capitolo delle rette in $R^n$ e precisamente il capitolo riguardante le equazioni della retta tangente ad una curva.
Il primo esempio citato, per far capire le equazioni è il seguente:
"La retta tangente alla circonferenza di equazioni parametriche:
$ { (x= 2cos t),( y= 2 sint ):} $ con $ t in [ 0, 2pi ] $
nel suo punto $Po = (x(pi/3) , y(pi/3) ) = (1, sqrt3) $
ha equazioni:
$ { (x= 1 -sqrt3 u),( y= sqrt3 + u):} $
La mia domanda è: come è stato possibile ricavare i seguenti valori, $(1, sqrt3) $ del punto $Po$ ?
grazie
Risposte
nella forma parametrica, quel "t" è l'angolo. se t vale $pi/3$, x e y diventano:
$ { (x= 2cos (pi/3)),( y= 2 sin (pi/3) ):} = {(x=1),(y=\sqrt3):}$
è questo il dubbio...?
$ { (x= 2cos (pi/3)),( y= 2 sin (pi/3) ):} = {(x=1),(y=\sqrt3):}$
è questo il dubbio...?
spiegazione chiarissima.
grazie.
grazie.
@lor3nzo: per il resto nessun problema? Nel senso, ti è chiaro poi perché usa i valori trovati per scrivere quelle equazioni parametriche?
ci stavo giusto riflettendo ora.
dunque, i parametri trovati vanno poi inseriti nelle seguenti equazioni:
$ { ( x = x(t0) + (x(t) - x(t0))u),( y = y(t0) + (y(t) - y(t0))u ):} $
sinceramente non riesco a capire come fa a tornare quella soluzione.
dunque, i parametri trovati vanno poi inseriti nelle seguenti equazioni:
$ { ( x = x(t0) + (x(t) - x(t0))u),( y = y(t0) + (y(t) - y(t0))u ):} $
sinceramente non riesco a capire come fa a tornare quella soluzione.
al posto di $x(t0) $ e $ y=(t0)$ ci vado ad inserire i valori trovati, e ok. ma dentro la parentesi, al posto di $x(t)$ e $y(t)$ cosa ci devo mettere?
la retta tangente ad una curva data in forma parametrica, ed espressa (la retta) in forma parametrica è:
[tex]\begin{cases}x = x(t_0) + x'(t_0) (t-t_0) \\ y = y(t_0) + y'(t_0) (t-t_0) \end{cases}[/tex]
e così tutto torna
non riesco solo a capire perchè dopo scrivi u invece di $ t - pi/3$.
[tex]\begin{cases}x = x(t_0) + x'(t_0) (t-t_0) \\ y = y(t_0) + y'(t_0) (t-t_0) \end{cases}[/tex]
e così tutto torna
non riesco solo a capire perchè dopo scrivi u invece di $ t - pi/3$.
@lor3nzo: correggi. Le formule non si visualizzano.
Considera una curva parametrica $r(t)=(x(t),\ y(t)),\ t\in[a,b]$: per definizione il vettore tangente alla curva è dato da
[tex]$T(t)=r'(t)=(x'(t),\ y'(t))$[/tex]
Sia $P_0(x_0,y_0)$ un punto sulla curva, in modo che $x_0=x(t_0),\ y_0=y(t_0)$ con $t_0\in[a,b]$. L'equazione parametrica della retta tangente alla curva nel punto $P_0$ è data allora da
[tex]$x(s)=x_0+s\cdot x'(t_0),\qquad y(s)=y_0+s\cdot y'(t_0),\qquad\qquad\qquad s\in\mathbb{R}$[/tex].
Nel tuo caso [tex]$r(t)=(2\cos t,\ 2\sin t)\ \Rightarrow\ T(t)=(-2\sin t,\ 2\cos t)$[/tex]. Inoltre $t_0=\pi/3$ per cui, come diceva Ziel
[tex]$x_0=1,\ y_0=\sqrt{3},\qquad x'(t_0)=-\sqrt{3},\ y'(t_0)=1$[/tex]
che sostituiti nella formula portano a
[tex]$x(s)=1-\sqrt{3} s,\qquad y(s)=\sqrt{3}+s$[/tex]
EDIT: anticipato da Ziel. Non hai bisogno di $t-t_0$, in quanto non è necessario fissare tutto in quel punto o, se vuoi, basta porre $u=t-t_0$, dal momento che, dovendo far variare $t$ in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex] questo accade anche ad $u$. Il mio consiglio è di non usare lo stesso parametro, potrebbe confondere le acque (qualcuno potrebbe pensare, erroneamente, che la retta va calcolata solo per $t\in[0,2\pi]$).
Considera una curva parametrica $r(t)=(x(t),\ y(t)),\ t\in[a,b]$: per definizione il vettore tangente alla curva è dato da
[tex]$T(t)=r'(t)=(x'(t),\ y'(t))$[/tex]
Sia $P_0(x_0,y_0)$ un punto sulla curva, in modo che $x_0=x(t_0),\ y_0=y(t_0)$ con $t_0\in[a,b]$. L'equazione parametrica della retta tangente alla curva nel punto $P_0$ è data allora da
[tex]$x(s)=x_0+s\cdot x'(t_0),\qquad y(s)=y_0+s\cdot y'(t_0),\qquad\qquad\qquad s\in\mathbb{R}$[/tex].
Nel tuo caso [tex]$r(t)=(2\cos t,\ 2\sin t)\ \Rightarrow\ T(t)=(-2\sin t,\ 2\cos t)$[/tex]. Inoltre $t_0=\pi/3$ per cui, come diceva Ziel
[tex]$x_0=1,\ y_0=\sqrt{3},\qquad x'(t_0)=-\sqrt{3},\ y'(t_0)=1$[/tex]
che sostituiti nella formula portano a
[tex]$x(s)=1-\sqrt{3} s,\qquad y(s)=\sqrt{3}+s$[/tex]
EDIT: anticipato da Ziel. Non hai bisogno di $t-t_0$, in quanto non è necessario fissare tutto in quel punto o, se vuoi, basta porre $u=t-t_0$, dal momento che, dovendo far variare $t$ in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex] questo accade anche ad $u$. Il mio consiglio è di non usare lo stesso parametro, potrebbe confondere le acque (qualcuno potrebbe pensare, erroneamente, che la retta va calcolata solo per $t\in[0,2\pi]$).
ma perchè "s" o "u"?
s e u non sono mica arbitrari... ci va (t-t0) al loro posto o.O
edit:
e dove sta l'errore nel considerare che la retta ha "ascissa" t che varia solo da 0 a 2p?
essendo la curva stessa definita con t che varia in quel range, segue che la retta tangente esiste all'interno dello stesso range.
dico bene o inizio dir frottole perchè non ho ancora pranzato? :O
s e u non sono mica arbitrari... ci va (t-t0) al loro posto o.O
edit:
e dove sta l'errore nel considerare che la retta ha "ascissa" t che varia solo da 0 a 2p?
essendo la curva stessa definita con t che varia in quel range, segue che la retta tangente esiste all'interno dello stesso range.
dico bene o inizio dir frottole perchè non ho ancora pranzato? :O
Ziel, ragiona un momento. Tu scrivi $t-t_0$ con $t\in\mathbb{R}$. Se ora sostituisci $s=t-t_0$ ottieni ancora la stessa cosa, vero? La tua scrittura serve solo a fissare l'idea che il punto iniziale $P_0$ si ottiene per $t_0$. Nella mia, tale punto lo ottieni per $s=0$ e se ci pensi risulta anche un po' più furbo come concetto: infatti quel punto è il "centro" della retta. Sono solo sfumature di definizioni, viene la stessa cosa. Un po' di elasticità, benedetto figliolo! 
Ah, e poi ti faccio notare una cosa: dal momento che il parametro nella retta varia su tutto l'asse reale esso, per definizione, è arbitrario!
Ah, e poi ti faccio notare una cosa: dal momento che il parametro nella retta varia su tutto l'asse reale esso, per definizione, è arbitrario!
"Ziel van brand":
edit:
e dove sta l'errore nel considerare che la retta ha "ascissa" t che varia solo da 0 a 2p?
essendo la curva stessa definita con t che varia in quel range, segue che la retta tangente esiste all'interno dello stesso range.
dico bene o inizio dir frottole perchè non ho ancora pranzato? :O
Se la $t$ è finita ottieni un SEGMENTO!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! E' qui che ti sbagli: la retta tangente ha un parametro diverso proprio perché deve essere rappresentata in tutto il piano. Da quello che dici, mi fai pensare che secondo te la retta tangente debba "avvolgersi" attorno alla curva! Rifletti bene prima di parlare!
Ho corretto la visualizzazione e nel mentre mi sono accorto che quella formula li era intermedia e non quella finale.
In risposta a Ziel van brand sul mio libro (calcolo 3, pitagora editrice) c'è scritto che la formula (stavolta giusta) delle equazioni parametriche della retta tangente alla curva semplice e regolare nel suo punto $Po(x(t0),y(t0) ) $ è:
$ { ( x = x(t0) + x'(t0)u),( y = y(t0) + y'(t0)u ):} $
andando a sostituire mi torna tutto! grazie ad entrambi
In risposta a Ziel van brand sul mio libro (calcolo 3, pitagora editrice) c'è scritto che la formula (stavolta giusta) delle equazioni parametriche della retta tangente alla curva semplice e regolare nel suo punto $Po(x(t0),y(t0) ) $ è:
$ { ( x = x(t0) + x'(t0)u),( y = y(t0) + y'(t0)u ):} $
andando a sostituire mi torna tutto! grazie ad entrambi
ok ciampy, ma per me la s o u che sia, piove dal cielo
detto in altro modo:
se hai una curva in forma parametrica, significa che x e y sono funzioni di una variabile t. in altre parole puoi disegnare separatamente i grafici x(t) e y(t). se ora tu calcoli la retta tangente alla funzione x(t) in un suo punto (x0,t0), credo sia più naturale scrivere (t-t0). poi DOPO al massimo puoi riscalare le "ascisse" (in questo caso le t) ponendo t-t0 = s. ma se scrivi s ora al posto di t-t0, devi cambiare anche la variabile t nella funzione x(t).
quel che contesto insomma è che tu dici: "data la curva in forma parametrica x(t) e y(t), la retta tangente è una retta con ordinate e ascisse nella forma x(s), y(s)". e io chiedo quindi "cos'è s?"
detto in altro modo:
se hai una curva in forma parametrica, significa che x e y sono funzioni di una variabile t. in altre parole puoi disegnare separatamente i grafici x(t) e y(t). se ora tu calcoli la retta tangente alla funzione x(t) in un suo punto (x0,t0), credo sia più naturale scrivere (t-t0). poi DOPO al massimo puoi riscalare le "ascisse" (in questo caso le t) ponendo t-t0 = s. ma se scrivi s ora al posto di t-t0, devi cambiare anche la variabile t nella funzione x(t).
quel che contesto insomma è che tu dici: "data la curva in forma parametrica x(t) e y(t), la retta tangente è una retta con ordinate e ascisse nella forma x(s), y(s)". e io chiedo quindi "cos'è s?"
"ciampax":
Se la $t$ è finita ottieni un SEGMENTO!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! E' qui che ti sbagli: la retta tangente ha un parametro diverso proprio perché deve essere rappresentata in tutto il piano. Da quello che dici, mi fai pensare che secondo te la retta tangente debba "avvolgersi" attorno alla curva! Rifletti bene prima di parlare!
:O
epic fail! non dirlo in giro, ne va della mia carriera universitaria... ^^"
"l0r3nzo":
Ho corretto la visualizzazione e nel mentre mi sono accorto che quella formula li era intermedia e non quella finale.
In risposta a Ziel van brand sul mio libro (calcolo 3, pitagora editrice) c'è scritto che la formula (stavolta giusta) delle equazioni parametriche della retta tangente alla curva semplice e regolare nel suo punto $Po(x(t0),y(t0) ) $ è:
$ { ( x = x(t0) + x'(t0)u),( y = y(t0) + y'(t0)u ):} $
andando a sostituire mi torna tutto! grazie ad entrambi
contromossa: enrico giusti, Analisi Matematica 2, pag 122
libro alquanto discutibile... però quando una fonte ti dà ragione, non conta quanto sia attendibile, dico bene? ^^
E' un parametro. Perché devi chiamarlo per forza $t$? Puoi anche chiamarlo "piccolo parametruccio carino caruccio"! Ma ti rendi conto che battezzandolo $s$ funziona meglio: infatti, come vedi, tu credi che la retta debba avere parametro $t\in[0,2\pi]$ mentre, come già ti ho spiegato, essendo una retta, il suo parametro deve variare su tutto l'asse reale. Io infatti non sto riscalando o sostituendo. Io parto direttamente dall'idea di usare un nuovo parametro.
Quello che scrivi tu, invece, con $t-t_0$ è sbagliato, dal momento che usi solo $t\in[0,2\pi]$ e quindi ottieni un segmento e non una retta.
EDIT: il Giusti è attendibile, molto più di quanto tu creda. Se vuoi fare delle critiche, prima sii certo di quello che affermi.
Quello che scrivi tu, invece, con $t-t_0$ è sbagliato, dal momento che usi solo $t\in[0,2\pi]$ e quindi ottieni un segmento e non una retta.
EDIT: il Giusti è attendibile, molto più di quanto tu creda. Se vuoi fare delle critiche, prima sii certo di quello che affermi.
"ciampax":
[...]
EDIT: il Giusti è attendibile, molto più di quanto tu creda. Se vuoi fare delle critiche, prima sii certo di quello che affermi.
beh, è solo un mio parere. non è un libro che mi piace particolarmente. poi vabbeh... ho scritto "poco attendibile" non volendo intendere che dica fesserie, era in tono goliardico, suvvia!
... a me comunque non piace
ora vado a fare ammenda per quella cosetta sul range entro cui cambia t
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