Retta tangente a una curva regolare
Sia $\phi:I to RR^n$, $IsubeRR$ una curva regolare, cioè con derivate prime continue e tali che le derivate prime non si annullino mai contemporaneamente.
Devo trovare la retta tangente a un punto $phi(t_0)=(phi_1(t_0),...,phi_n(t_0))$.
Volevo fare il classico "trucco" per cui si calcola la retta secante in due punti e poi si fanno coincidere i due punti con il limite.
Sia $r$ una retta di $RR^n$ di equazioni parametriche: $x_i=q_i+a_it$ per $i=1,...,n$, dove $Q-=(q_1,...,q_n)$ è un punto in cui passa la retta e $a=(a_1,...,a_n)$ la sua direzione.
Io ho posto ovviamente $phi(t_0)$ come punto Q. Prendendo un altro punto $phi(t_1)$ sulla curva, considero la direzione della retta $a=\phi(t_1)-\phi(t_0)$.
Perciò, le componenti della retta risultano: $x_i=\phi_i(t_0)+t(\phi_i(t_1)-\phi_i(t_0))$. Ma ora se calcolo il limite per $t_1tot_0$ mi si annulla quello che ho fra parentesi -_-
Devo riuscire palesemente a mettere $t_1-t_0$ al denominatore, ma non trovo dov'è il gap nel mio ragionamento
Grazie in anticipo.
Devo trovare la retta tangente a un punto $phi(t_0)=(phi_1(t_0),...,phi_n(t_0))$.
Volevo fare il classico "trucco" per cui si calcola la retta secante in due punti e poi si fanno coincidere i due punti con il limite.
Sia $r$ una retta di $RR^n$ di equazioni parametriche: $x_i=q_i+a_it$ per $i=1,...,n$, dove $Q-=(q_1,...,q_n)$ è un punto in cui passa la retta e $a=(a_1,...,a_n)$ la sua direzione.
Io ho posto ovviamente $phi(t_0)$ come punto Q. Prendendo un altro punto $phi(t_1)$ sulla curva, considero la direzione della retta $a=\phi(t_1)-\phi(t_0)$.
Perciò, le componenti della retta risultano: $x_i=\phi_i(t_0)+t(\phi_i(t_1)-\phi_i(t_0))$. Ma ora se calcolo il limite per $t_1tot_0$ mi si annulla quello che ho fra parentesi -_-
Devo riuscire palesemente a mettere $t_1-t_0$ al denominatore, ma non trovo dov'è il gap nel mio ragionamento
Grazie in anticipo.
Risposte
Ma scusa, usare la molto più semplice formula seguente
[tex]$y_i=\varphi_i(t_0)+t\cdot\varphi'_i(t_0),\qquad i=1,\ldots,n$[/tex]?
Non so se lo sai, ma il vettore tangente alla curva nel punto [tex]$\varphi(t_0)$[/tex] (che è appunto [tex]$\varphi'(t_0)$[/tex]) è proprio il vettore direzione che ti serve.
Comunque, il gap nel tuo ragionamento è che non ti ricordi che [tex]$\frac{\varphi(t_1)-\varphi(t_0)}{t_1-t_0}$[/tex] è il rapporto incrementale della $\varphi$, e quindi il suo limite per $t_1\to t_0$ risulta essere.....
[tex]$y_i=\varphi_i(t_0)+t\cdot\varphi'_i(t_0),\qquad i=1,\ldots,n$[/tex]?
Non so se lo sai, ma il vettore tangente alla curva nel punto [tex]$\varphi(t_0)$[/tex] (che è appunto [tex]$\varphi'(t_0)$[/tex]) è proprio il vettore direzione che ti serve.
Comunque, il gap nel tuo ragionamento è che non ti ricordi che [tex]$\frac{\varphi(t_1)-\varphi(t_0)}{t_1-t_0}$[/tex] è il rapporto incrementale della $\varphi$, e quindi il suo limite per $t_1\to t_0$ risulta essere.....
Non so se lo sai, ma il vettore tangente alla curva nel punto $\varphi(t_0)$ (che è appunto $\varphi'(t_0)$) è proprio il vettore direzione che ti serve.
Sìsì, lo so, è proprio quel che stavo cercando di dimostrare
Quello che non capisco è che se il vettore direzione è la differenza fra i due punti, perché devo poi dividere per $t_1-t_0$? (Cioè, io ci ero arrivato perché sapevo dove dovevo andare a parare
)
Si comunque il gap nel tuo ragionamento è che quella parametrizzazione della retta secante non va bene. Ne devi prendere un'altra, fatta in modo tale che per $s=t_0, t_1$ il punto mobile sulla retta coincida con $phi(t_0), phi(t_1)$ rispettivamente. Hint: non chiamare con lo stesso simbolo il parametro della curva e quello della retta tangente.
Pensa al caso banale dell'analisi 1, quando definisci la derivata: cosa rappresenta geometricamente? Bé, in generale puoi estendere il ragionamento: infatti il caso dell'analisi 1, cioè quello in cui la curva è datta dalla funzione [tex]$y=f(x)$[/tex] lo puoi vedere come il caso della curva regolare in [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] con la parametrizzazione [tex]$\varphi(t)=(t,f(t))$[/tex]. Spero che ti sia chiaro.
Grazie a entrambi 
Praticamente, il mio errore consisteva nell'aver parametrizzato una retta che passava per quei due punti.
Ma avendo trascurato il "tempo", la legge oraria di quella retta mi diceva che il punto andava su $\phi(t_0)$ all'"istante" $s=0$ e su $\phi(t_1)$ per $s=1$. E non per $s=t_0$ e $s=t_1$ rispettivamente.
Praticamente, il mio errore consisteva nell'aver parametrizzato una retta che passava per quei due punti.
Ma avendo trascurato il "tempo", la legge oraria di quella retta mi diceva che il punto andava su $\phi(t_0)$ all'"istante" $s=0$ e su $\phi(t_1)$ per $s=1$. E non per $s=t_0$ e $s=t_1$ rispettivamente.
Esatto.
@dissonance: non mi è passato manco per la capa di scrivere la parametrizzazone giusta! Thx.
Mmh, mi è venuta in mente un'altra domanda.
In questo modo, le retta è tangente alla curva nel senso che la "particella" che cammina sulla retta e quella che cammina sulla curva si toccano in quel determinato punto nello stesso istante.
Se io invece avessi equazioni cartesiane e le eguagliassi per vedere dove la retta interseca la curva, visto che sparisce la dipendenza dal "tempo", sarebbe come dire "Quale punto in comune hanno le traiettorie delle due particelle (quindi, indipendentemente dal momento in cui passano nell'eventuale punto)?" ?
In questo modo, le retta è tangente alla curva nel senso che la "particella" che cammina sulla retta e quella che cammina sulla curva si toccano in quel determinato punto nello stesso istante.
Se io invece avessi equazioni cartesiane e le eguagliassi per vedere dove la retta interseca la curva, visto che sparisce la dipendenza dal "tempo", sarebbe come dire "Quale punto in comune hanno le traiettorie delle due particelle (quindi, indipendentemente dal momento in cui passano nell'eventuale punto)?" ?
Ma infatti nel caso di equazioni cartesiane la condizione di tangenza ha una forma completamente diversa. Mettiamoci nel piano: la retta di equazioni parametriche $r=r(s)$ è tangente alla curva di equazioni cartesiane $F(x, y)=0$ nel punto $r(s_0)=x_0, y_0$ se $F(r(s))$ ha in $s_0$ uno zero di ordine superiore al primo (nel senso che si annullano $F(r(s_0))$ e anche la derivata prima $DF(x_0, y_0)cdot dot{r}(s_0)$).
Questo non ha una interpretazione cinematica, o se ce l'ha non è certamente la stessa di prima. Infatti quello che stai richiedendo stavolta è che il vettore direzionale di $r$ sia ortogonale a $DF(x_0, y_0)$. E questo perché, se ragioni in termini di linee di livello, ti accorgi facilmente che $DF(x_0, y_0)$ non può che essere il vettore normale alla tua curva.
Questo non ha una interpretazione cinematica, o se ce l'ha non è certamente la stessa di prima. Infatti quello che stai richiedendo stavolta è che il vettore direzionale di $r$ sia ortogonale a $DF(x_0, y_0)$. E questo perché, se ragioni in termini di linee di livello, ti accorgi facilmente che $DF(x_0, y_0)$ non può che essere il vettore normale alla tua curva.
Grazie ancora
Sai, ora che ci penso. Quando al liceo si trovava la tangente a una conica in un punto, si metteva a sistema le due eq. cartesiane e quindi si trovava un polinomio in una variabile. Poi si imponeva $\Delta=0$ e si trovavano i coefficienti della retta. Quello che noi imponevamo, dunque, era proprio che il polinomio avesse radice con molteplicità doppia in quel punto. Sappiamo che questo avviene se la sua derivata anche ha quel punto come radice. Ovvero, il punto di tangenza è uno zero del primo ordine. Quindi torna il significato di tangente nel secondo senso specificato. O sbaglio?
Non sbagli, no. Questo è un approccio più algebrico alla questione "tangenti": tu riconduci il problema - geometrico - della tangenza ad una questione di studio di polinomi. E da qua parte, detto proprio ultra-grossolanamente, il carrozzone della geometria algebrica.
Invece, con l'altro approccio riconduci il problema della tangenza ad una questione di calcolo differenziale. Detto ancora più grossolanamente, da qua parte il carrozzone della geometria differenziale.
Invece, con l'altro approccio riconduci il problema della tangenza ad una questione di calcolo differenziale. Detto ancora più grossolanamente, da qua parte il carrozzone della geometria differenziale.
Wow, è fantastico. Non vedo l'ora di fare geometria differenziale e geometria algebrica
Grazie di nuovo!
Grazie di nuovo!
Vorrei aggiungere una cosa all'osservazione riguardo il metodo delle tangenti ad una conica che si usa alle superiori: con esso, armando di un po' di sana pazienza e facendo un po' di conti, si può dimostrare che data una conica, di equazione generica [tex]$ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0$[/tex] ed un punto esterno ad essa, per esso passano sempre due rette tangenti alla conica. Questa semplice regola è quella che spinse il buon Riemann a cercare di "rendere analitici" tutti i processi della geometria, non solo quelli relativi a quella Euclidea, è che ha portato allo sviluppo dell'attuale concezione di geometria differenziale di curve e superfici, prima, e delle varietà differenziabili poi. (Scusate l'excursus storico, ma trovo sempre affascinante il fatto che fatti "molto" semplici della matematica elementare scatenino la nascita di branche matematiche che riescono ad arrivare a risultati che spesso lasciano esterrefatti!)
Ma quale scusate! Mi interessano queste cose. Thx
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo