Retta tangente a curve date come equazioni
ciao a tutti,
calcolare la retta tangente ad una curva in un punto dato non è in genere un problema per me. lo diventa quando la curva è data come equazione. faccio un esempio:
sia data la curva [tex]x^3 - 9xy + y^3 = 0[/tex], trovare l'equazione della retta tangente in [tex](x_0,y_0) = (4,2)[/tex].
un'idea potrebbe essere quella di parametrizzare la curva e lavorare poi sulla forma parametrizzata. ok, questa è una via che so seguire e non mi crea problemi.
tuttavia, c'è qualcosa di molto criptico che è possibile fare direttamente dalla scrittura come equazione:
chiamando l'equazione sopra scritta "F", vale: [tex]\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{d F}{d x}} {\frac{d F}{d y}} = - m[/tex]. dove m è il coefficiente angolare della generica retta tangente. si calcola m nel punto dato. e si inserisce poi nell'equazione: [tex]y = y_0 + m (x-x_0)[/tex]
la mia domanda a questo punto è "perchè?", perchè posso trovare m proprio in questo modo? perchè trovo MENO m? ho sempre saputo che valesse [tex]\frac {dy}{dx} = + m[/tex]; perchè c'è il meno? che senso ha derivare l'equazione rispetto ad x e a y e farne il rapporto? qual è la base teorica che mi permette di fare ciò?
ovviamente apprezzerei anche se solo mi indicaste un testo che spiega perchè sia possibile ragionare in tal modo
il mio libro non tratta affatto quel metodo per trovare la retta tangente. quanto ho scritto... beh, è parte dei miei appunti presi durante le lezioni.
grazie in anticipo per le risposte
calcolare la retta tangente ad una curva in un punto dato non è in genere un problema per me. lo diventa quando la curva è data come equazione. faccio un esempio:
sia data la curva [tex]x^3 - 9xy + y^3 = 0[/tex], trovare l'equazione della retta tangente in [tex](x_0,y_0) = (4,2)[/tex].
un'idea potrebbe essere quella di parametrizzare la curva e lavorare poi sulla forma parametrizzata. ok, questa è una via che so seguire e non mi crea problemi.
tuttavia, c'è qualcosa di molto criptico che è possibile fare direttamente dalla scrittura come equazione:
chiamando l'equazione sopra scritta "F", vale: [tex]\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{d F}{d x}} {\frac{d F}{d y}} = - m[/tex]. dove m è il coefficiente angolare della generica retta tangente. si calcola m nel punto dato. e si inserisce poi nell'equazione: [tex]y = y_0 + m (x-x_0)[/tex]
la mia domanda a questo punto è "perchè?", perchè posso trovare m proprio in questo modo? perchè trovo MENO m? ho sempre saputo che valesse [tex]\frac {dy}{dx} = + m[/tex]; perchè c'è il meno? che senso ha derivare l'equazione rispetto ad x e a y e farne il rapporto? qual è la base teorica che mi permette di fare ciò?
ovviamente apprezzerei anche se solo mi indicaste un testo che spiega perchè sia possibile ragionare in tal modo
il mio libro non tratta affatto quel metodo per trovare la retta tangente. quanto ho scritto... beh, è parte dei miei appunti presi durante le lezioni.
grazie in anticipo per le risposte
Risposte
Vediamo: indichiamo con $F(x,y)=0$ l'equazione in forma implicita. Sappiamo che $y'(x_0)={dy}{dx}(x_0)=m$. Consideriamo il punto $P_0(x_0,y_0)$ sulla curva data, dove $y_0=y(x_0)$. Ora, supponiamo che in un intorno di $x_0$ la funzione $F$ possa essere esplicitata in $y=y(x)$: pertanto possiamo considerare la funzione $G(x)=F(x,y(x))=0$. Derivando e ricordando la regola della catena (vedi? Te l'ho detto che riciccia sempre fuori)
[tex]$0=G'(x)=\frac{\partial F}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dx}=F_x+F_y\cdot y'$[/tex]
Segue quindi che, calcolando tutto in $(x_0,y_0)$
[tex]$0=F_x(x_0,y_0)+F_y(x_0,y_0)\cdot m\ \Rightarrow\ \frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}=-m$[/tex]
Chiaro? In realta nei tuoi appunti c'è un errore: la formula corretta che lega derivata totale di $y$ rispetto a $x$ con le derivate parziali di $F$ è questa: [tex]$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$[/tex].
[tex]$0=G'(x)=\frac{\partial F}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dx}=F_x+F_y\cdot y'$[/tex]
Segue quindi che, calcolando tutto in $(x_0,y_0)$
[tex]$0=F_x(x_0,y_0)+F_y(x_0,y_0)\cdot m\ \Rightarrow\ \frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}=-m$[/tex]
Chiaro? In realta nei tuoi appunti c'è un errore: la formula corretta che lega derivata totale di $y$ rispetto a $x$ con le derivate parziali di $F$ è questa: [tex]$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$[/tex].
aaah! ok ok. mi sono illuminato quando ho letto "implicita" 
ok allora. con la funzione implicita
grazie comunque ciampy
ok allora. con la funzione implicita
grazie comunque ciampy
in questo caso: $ y(1+1/x)^x=9 $ come faccio a calcolare la retta tangente alla curva ? 
"Frasandro":
in questo caso: $ y(1+1/x)^x=9 $ come faccio a calcolare la retta tangente alla curva ?
In questo caso $F = y(1+1/x)^x - 9$, anche se il $9$ svanisce nei calcoli.
Torna infine utile ricordare che $y^x = e^{x ln (y)}$.
non riesco a sfruttare il tuo suggerimento 
"Frasandro":
non riesco a sfruttare il tuo suggerimento
Credo che la parte che ti crea difficoltà è la derivata rispetto ad $x$.
Devi solo calcolare $\partial_x (y e^{x ln (1 + \frac{1}{x})})$. In pratica devi derivare un $e^{f(x)}$.
quindi dovrei fare la derivata..... ma ancora non mi e' chiaro come devo procedere:(
Io non capisco cosa non capisci. D'altronde leggendo il mio primo post qui, ritengo si capisca a sufficienza come procedere.
"Ziel van brand":
Devi solo calcolare $\partial_x (y e^{x ln (1 + \frac{1}{x})})$. In pratica devi derivare un $e^{f(x)}$.
devo derivare un $e^{f(x)}$ e in questo caso $f(x)$ e' $ln(1+1/x)^x$ arrivato quì, non so più andare avanti
Beh... $\partial_x e^{f(x)} = e^{f(x)} \partial_x f(x)$.
Edit:
In questo caso penso sia più corretto usare la "d dritta" $d$, quindi $d_x e^{f(x)} = e^{f(x)} d_x f(x)$.
Edit:
In questo caso penso sia più corretto usare la "d dritta" $d$, quindi $d_x e^{f(x)} = e^{f(x)} d_x f(x)$.
"Frasandro":
in questo caso $ f(x) $ e' $ ln(1+1/x)^x $
quindi se riscrivo la $ f(x) $ così $ xln(1+1/x) $, devo fare la derivata di un prodotto....
e in questi casi, conviene fare il m.c.m all'interno dell'argomento del logaritmo?
"Frasandro":
quindi se riscrivo la $ f(x) $ così $ xln(1+1/x) $, devo fare la derivata di un prodotto....
Corretto.
"Frasandro":
e in questi casi, conviene fare il m.c.m all'interno dell'argomento del logaritmo?
Mah, io lo calcolerei dopo aver derivato.
la derivata mi risulta $ln(1+1/x)+x/(1+x)$ ma ho dubbi sull'esattezza della stessa ....
ops... 
ho sbagliato a ricopiare la derivata.... quella giusta dovrebbe essere questa:
$ f'(x)= ((x+1)ln(1/x+1)-1)/(1+x) $ ;
ricapitolando, abbiamo: $ e^(xln(1+1/x))((x+1)ln(1/x+1)-1)/(1+x) $;
Arrivato quì.... come devo andare avanti?
ho sbagliato a ricopiare la derivata.... quella giusta dovrebbe essere questa: $ f'(x)= ((x+1)ln(1/x+1)-1)/(1+x) $ ;
ricapitolando, abbiamo: $ e^(xln(1+1/x))((x+1)ln(1/x+1)-1)/(1+x) $;
Arrivato quì.... come devo andare avanti?
$d_x F = d_x [y(1 + \frac{1}{x})^x - 9] = y d_x (1 + \frac{1}{x})^x = y d_x e^{x ln(1+ \frac{1}{x})}$
$= y (e^{x ln(1+ \frac{1}{x})} (ln(1 + 1/x ) + x \frac{1}{1 + 1/x} (0 - 1/x^2)) = $
$= y (e^{x ln(1+ \frac{1}{x})} (ln(1 + 1/x ) - \frac{1}{1+x})$
$= y (1+ \frac{1}{x})^x (ln(1 + 1/x ) - \frac{1}{1+x})$
$d_y F = (1 + \frac{1}{x})^x$
$m = - \frac{d_x F}{d_y F} = y (ln(1 + 1/x ) - \frac{1}{1+x})$
Il coefficiente m così trovato è in funzione delle coordinate $(x_0, y_0)$ del punto di tangenza. Queste coordinate te le dà l'esercizio in genere. Sostituisci opportunamente i loro valori in $m$ e trovi quanto vale. Poi inserisci tutto nell'equazione della retta: $y - y_0 = m (x - x_0)$.
$= y (e^{x ln(1+ \frac{1}{x})} (ln(1 + 1/x ) + x \frac{1}{1 + 1/x} (0 - 1/x^2)) = $
$= y (e^{x ln(1+ \frac{1}{x})} (ln(1 + 1/x ) - \frac{1}{1+x})$
$= y (1+ \frac{1}{x})^x (ln(1 + 1/x ) - \frac{1}{1+x})$
$d_y F = (1 + \frac{1}{x})^x$
$m = - \frac{d_x F}{d_y F} = y (ln(1 + 1/x ) - \frac{1}{1+x})$
Il coefficiente m così trovato è in funzione delle coordinate $(x_0, y_0)$ del punto di tangenza. Queste coordinate te le dà l'esercizio in genere. Sostituisci opportunamente i loro valori in $m$ e trovi quanto vale. Poi inserisci tutto nell'equazione della retta: $y - y_0 = m (x - x_0)$.
grazie mille 
!!
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