Retta perpendicolare al grefico di f(x,y)
in che modo si puòtrovare la retta perpendicolare al grafico di una funzione f(x,y)?
Risposte
Se non vado errando l'equazione della retta perpendicolare ad una curva data in un $x_0$ è $y-y_0= (1)/(f '(x_0))(x-x_0)$, dove $f '(x_0)$ è la derivata della curva data, calcolata in $x_0$
Però potrei aver detto una cavolata quindi attendi qualcuno più preparato
Però potrei aver detto una cavolata quindi attendi qualcuno più preparato
Hai sbagliato il segno Obi 
è
\[y=f(x_0)-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)\]
@supermario92. E' bene capire il perchè di questo. Lasciamo perdere la retta perpendicolare. Che caratteristiche ha invece la retta tangente al grafico di $f(x)$ in $x_0$? Passa per il punto $x_0$, dunque innanzitutto è una retta del fascio di equazione
\[y-y_0=m(x-x_0)\]
ma dal momento che $y_0=f(x_0)$ hai
\[y-f(x_0)=m(x-x_0)\]
Il coefficiente angolare $m$ è da determinare: anche questo è abbastanza facile dato che sappiamo che, per definizione, $f'(x_0)$ è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di $f$ in $x_0$. Sostituendo $f'(x_0)$ al posto di $m$ ottieni l'eq. della retta tangente.
Considerando che il coefficiente angolare di una retta ortogonale a una retta data, con coefficiente angolare $m$, è $-1/m$, otteniamo anche quella della retta normale al grafico.
Ovviamente anche quel che ti ho detto io non è da prendere come verità assoluta ciao
EDIT: ops! ma intendi una funzione di una o di piu variabili???
è\[y=f(x_0)-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)\]
@supermario92. E' bene capire il perchè di questo. Lasciamo perdere la retta perpendicolare. Che caratteristiche ha invece la retta tangente al grafico di $f(x)$ in $x_0$? Passa per il punto $x_0$, dunque innanzitutto è una retta del fascio di equazione
\[y-y_0=m(x-x_0)\]
ma dal momento che $y_0=f(x_0)$ hai
\[y-f(x_0)=m(x-x_0)\]
Il coefficiente angolare $m$ è da determinare: anche questo è abbastanza facile dato che sappiamo che, per definizione, $f'(x_0)$ è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di $f$ in $x_0$. Sostituendo $f'(x_0)$ al posto di $m$ ottieni l'eq. della retta tangente.
Considerando che il coefficiente angolare di una retta ortogonale a una retta data, con coefficiente angolare $m$, è $-1/m$, otteniamo anche quella della retta normale al grafico.
Ovviamente anche quel che ti ho detto io non è da prendere come verità assoluta
ciaoEDIT: ops! ma intendi una funzione di una o di piu variabili???
"Plepp":
Hai sbagliato il segno Obi
\[y=f(x_0)-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)\]
Grazie
"supermario92":
in che modo si puòtrovare la retta perpendicolare al grafico di una funzione f(x,y)?
In che modo si trova il piano tangente?
Fatto questo, determinare la retta ortogonale diventa un semplicissimo esercizio di Gometria Analitica.
Ciao @Gugo.
Probabilmente io e Obi abbiamo risposto a una domanda che non è stata posta
Tentando di rispondere alla domanda vera e propria io direi:
per ottenere la retta normale al grafico di una $f(x,y)$ nel punto $\mathbf{P}=(x_0,y_0,z_0)$ dove $z_0=f(x_0,y_0)$ dobbiamo considerare che questa ha per vettore di direzione il $\nabla f(x_0,y_0)$ e passa, appunto, per il suddetto punto $\mathbf{P}$. Imponendo le due condizioni il gioco è fatto. Confermi?
Probabilmente io e Obi abbiamo risposto a una domanda che non è stata posta
Tentando di rispondere alla domanda vera e propria io direi:
per ottenere la retta normale al grafico di una $f(x,y)$ nel punto $\mathbf{P}=(x_0,y_0,z_0)$ dove $z_0=f(x_0,y_0)$ dobbiamo considerare che questa ha per vettore di direzione il $\nabla f(x_0,y_0)$ e passa, appunto, per il suddetto punto $\mathbf{P}$. Imponendo le due condizioni il gioco è fatto. Confermi?
"Plepp":
per ottenere la retta normale al grafico di una $f(x,y)$ nel punto $\mathbf{P}=(x_0,y_0,z_0)$ dove $z_0=f(x_0,y_0)$ dobbiamo considerare che questa ha per vettore di direzione il $\nabla f(x_0,y_0)$ e passa, appunto, per il suddetto punto $\mathbf{P}$. Imponendo le due condizioni il gioco è fatto. Confermi?
Falso.
Infatti \(\nabla f(x_0,y_0)\in \mathbb{R}^2\) non può essere il vettore direzionale di una retta dello spazio.
"Plepp":
Ciao @Gugo.
Probabilmente io e Obi abbiamo risposto a una domanda che non è stata posta
Si, ma io sono un epic fail, mi succede abbastanza spesso
concordo con gugo!!
è proprio quello il mio problema!!
ho pensato che forse mi servirebbe la derivata parziale rispetto a z per trovare il vettore direzione
e se è questa la via da seguire come faccio a trovare la derivata parziale rispetto a z?
è proprio quello il mio problema!!
ho pensato che forse mi servirebbe la derivata parziale rispetto a z per trovare il vettore direzione
e se è questa la via da seguire come faccio a trovare la derivata parziale rispetto a z?
@gugo grazie 
il metodo del piano tangente è giusto, però io volevo sapere se ne esiste uno alternativo!
il metodo del piano tangente è giusto, però io volevo sapere se ne esiste uno alternativo!
Il grafico di una funzione \(f\) continua è la superficie d'equazione \(z=f(x,y)\).
Se la funzione \(f\) è differenziabile in \((x_0,y_0)\) allora la superficie \(z=f(x_0,y_0)\) è dotata di piano tangente in \((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\), diciamolo \(\Pi_f (x_0,y_0)\), e tale piano ha equazione cartesiana:
\[
\Pi_f (x_0,y_0):\ f_x(x_0,y_0)\ (x-x_0) +f_y(x_0,y_0)\ (y-y_0) - (z-f(x_0,y_0))=0
\]
in cui \(f_x,\ f_y\) sono le derivate parziali di \(f\).
Per notissimi fatti di Geometria Analitica, il vettore \(\mathbf{n} =(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1)\) è normale al piano \(\Pi_f (x_0,y_0)\), quindi esso è anche (per definizione) il vettore direzionale della retta normale al grafico di \(f\) nel punto \((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\).
Detta \(r\) la retta normale, allora, si possono scrivere le equazioni parametriche di \(r\) usando il vettore \(\mathbf{n}\) ed il punto \((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\):
\[
r:\ \begin{cases}
x=x_0+f_x(x_0,y_0)\ t\\
y=y_0+f_y(x_0,y_0)\ t\\
z=f(x_0,y_0)-t\; .
\end{cases}
\]
Altrimenti, la retta normale è quella che si ottiene intersecando i piani \(\Pi_x (x_0,y_0),\ \Pi_y (x_0,y_0)\) di equazioni:
\[
\Pi_x (x_0,y_0):\ (x-x_0)+f_x(x_0,y_0)\ (z-f(x_0,y_0))=0\qquad \text{e} \qquad \Pi_y (x_0,y_0):\ (y-y_0)+f_y(x_0,y_0)\ (z-f(x_0,y_0))=0
\]
i.e. quella di equazioni cartesiane:
\[
r:\ \begin{cases}
(x-x_0)+f_x(x_0,y_0)\ (z-f(x_0,y_0))=0\\
(y-y_0)+f_y(x_0,y_0)\ (z-f(x_0,y_0))=0\; .
\end{cases}
\]
Se la funzione \(f\) è differenziabile in \((x_0,y_0)\) allora la superficie \(z=f(x_0,y_0)\) è dotata di piano tangente in \((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\), diciamolo \(\Pi_f (x_0,y_0)\), e tale piano ha equazione cartesiana:
\[
\Pi_f (x_0,y_0):\ f_x(x_0,y_0)\ (x-x_0) +f_y(x_0,y_0)\ (y-y_0) - (z-f(x_0,y_0))=0
\]
in cui \(f_x,\ f_y\) sono le derivate parziali di \(f\).
Per notissimi fatti di Geometria Analitica, il vettore \(\mathbf{n} =(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1)\) è normale al piano \(\Pi_f (x_0,y_0)\), quindi esso è anche (per definizione) il vettore direzionale della retta normale al grafico di \(f\) nel punto \((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\).
Detta \(r\) la retta normale, allora, si possono scrivere le equazioni parametriche di \(r\) usando il vettore \(\mathbf{n}\) ed il punto \((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\):
\[
r:\ \begin{cases}
x=x_0+f_x(x_0,y_0)\ t\\
y=y_0+f_y(x_0,y_0)\ t\\
z=f(x_0,y_0)-t\; .
\end{cases}
\]
Altrimenti, la retta normale è quella che si ottiene intersecando i piani \(\Pi_x (x_0,y_0),\ \Pi_y (x_0,y_0)\) di equazioni:
\[
\Pi_x (x_0,y_0):\ (x-x_0)+f_x(x_0,y_0)\ (z-f(x_0,y_0))=0\qquad \text{e} \qquad \Pi_y (x_0,y_0):\ (y-y_0)+f_y(x_0,y_0)\ (z-f(x_0,y_0))=0
\]
i.e. quella di equazioni cartesiane:
\[
r:\ \begin{cases}
(x-x_0)+f_x(x_0,y_0)\ (z-f(x_0,y_0))=0\\
(y-y_0)+f_y(x_0,y_0)\ (z-f(x_0,y_0))=0\; .
\end{cases}
\]
Se puo consolarti Obi ho detto anch'io una cosa da Epic Fail me ne sono accorto ora e lo stavo venendo a scrivere, ma poi
ho letto l'intervento di gugo. Cmq il vettore giusto dovrebbe essere
\[\left( \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}, 1\right)\]
naturalmente calcolato in $\mathbf{x}$
Richiedo conferma
EDIT: giusto, $-1$, non avevo messo la $z$ allo stesso membro del resto vabe questo è un errore di distrazione 
me ne sono accorto ora e lo stavo venendo a scrivere, ma poi ho letto l'intervento di gugo. Cmq il vettore giusto dovrebbe essere
\[\left( \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}, 1\right)\]
naturalmente calcolato in $\mathbf{x}$
Richiedo conferma
EDIT: giusto, $-1$, non avevo messo la $z$ allo stesso membro del resto
vabe questo è un errore di distrazione
grazie mille gugo sei stato chiarissimo e gentilissimo!!
e finalmente ho capito
e finalmente ho capito
"gugo82":
Per notissimi fatti di Geometria Analitica, il vettore \(\mathbf{n} =(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1)\) è normale al piano \(\Pi_f (x_0,y_0)\), quindi esso è anche (per definizione) il vettore direzionale della retta normale al grafico di \(f\) nel punto \((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\).
purtroppo ignoro questo notissimo fatto!
ti ricordi che teorema è?
così posso andarmelo a cercare in internet!
Niente di particolare, mario
se $ax+by+cz+d=0$ è l'equazione di un piano in $RR^3$, allora il vettore $(a,b,c)$ è normale al piano...suppongo che tu lo abbia studiato nel corso di Geometria&Algebra...
se $ax+by+cz+d=0$ è l'equazione di un piano in $RR^3$, allora il vettore $(a,b,c)$ è normale al piano...suppongo che tu lo abbia studiato nel corso di Geometria&Algebra...
grazie plepp!!
purtroppo è che il corso di geometria e algerbra lineare lo hanno integrato nel corso di analisi 1 e viste le poche ore del corso molte cose sono state saltate, a volte anche le più basilari!
purtroppo è che il corso di geometria e algerbra lineare lo hanno integrato nel corso di analisi 1 e viste le poche ore del corso molte cose sono state saltate, a volte anche le più basilari!
"supermario92":
[quote="gugo82"]
Per notissimi fatti di Geometria Analitica, il vettore \(\mathbf{n} =(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1)\) è normale al piano \(\Pi_f (x_0,y_0)\), quindi esso è anche (per definizione) il vettore direzionale della retta normale al grafico di \(f\) nel punto \((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\).
purtroppo ignoro questo notissimo fatto!
ti ricordi che teorema è?
così posso andarmelo a cercare in internet![/quote]
Non è un teorema, è proprio la definizione di piano.
Quando il piano è assegnato in equazione cartesiana, i coefficienti di \(x,\ y,\ z\) sono le componenti di un vettore normale al piano stesso. Infatti, scrivendo l'equazione nella forma:
\[
a\ (x-x_0)+b\ (y-y_0)+c\ (z-z_0)=0
\]
si vede che il vettore dei coefficienti \((a,b,c)\) è perpendicolare al vettore \((x-x_0,y-y_0,z-z_0)\), il quale rappresenta il generico vettore che giace sul piano.
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