Retta per un punto e interseca altre 2 rette con segmento dato
Buongiorno, vorrei sottoporvi alcune domande su questo problema.
Scrivere l'equazione delle rette passanti per il punto C (-5, 4) e che intersecano sulle rette x+2y-1 = 0 e x+2y+1 un segmento di misura 5.
Per risolvere dovrei trovare innanzitutto il coefficiente angolare.
So per esperienza che per ottenere 5 (radice di 25) quale misura di un segmento (norma, ipotenusa) 3 e 4 sono i cateti da considerare e quindi assumo $ 3/4 $ al posto di t nella formula del fascio di rette per il punto indicato: $ x+5 +t (y-4) $ che risolta mi fornisce una delle due equazioni richieste cioè $ 3x + 4y -1 $ .
Il libro però mi dà una seconda equazione che a conti fatti non mi risulta che passi per il punto dato: $ 7x + 24y -61 = 0 $ .
Le mie domande sono:
- come avrei dovuto determinare matematicamente gli elementi 3 e 4 che mi forniscono la $ sqrt(25) $ ? (cioè se non avessi avuto 5 che so essere radice di 25 e che ha 3 e 4 quali cateti dell'ipotenusa)
- secondo voi c'è una seconda retta e quale, che sia soluzione del problema ?
Grazie mille del vostro prezioso aiuto.
Scrivere l'equazione delle rette passanti per il punto C (-5, 4) e che intersecano sulle rette x+2y-1 = 0 e x+2y+1 un segmento di misura 5.
Per risolvere dovrei trovare innanzitutto il coefficiente angolare.
So per esperienza che per ottenere 5 (radice di 25) quale misura di un segmento (norma, ipotenusa) 3 e 4 sono i cateti da considerare e quindi assumo $ 3/4 $ al posto di t nella formula del fascio di rette per il punto indicato: $ x+5 +t (y-4) $ che risolta mi fornisce una delle due equazioni richieste cioè $ 3x + 4y -1 $ .
Il libro però mi dà una seconda equazione che a conti fatti non mi risulta che passi per il punto dato: $ 7x + 24y -61 = 0 $ .
Le mie domande sono:
- come avrei dovuto determinare matematicamente gli elementi 3 e 4 che mi forniscono la $ sqrt(25) $ ? (cioè se non avessi avuto 5 che so essere radice di 25 e che ha 3 e 4 quali cateti dell'ipotenusa)
- secondo voi c'è una seconda retta e quale, che sia soluzione del problema ?
Grazie mille del vostro prezioso aiuto.
Risposte
Probabilmente lo sposteranno in secondaria di secondo grado 
Comunque per risolvere inizialmente non devi trovare il coefficiente angolare, anzi, quella è l'ultima cosa. Il problema ti chiede di far si che la retta $r$ di centro $C$ venendo a cadere sulle altre due, formi tra di esse un segmento di lunghezza $5$. E' chiaro che le prime cose da trovare sono le intersezioni $P,Q$ con le due rette.
Ovviamente le due coppie $P(x_a,y_a)$ e $Q(x_b,y_b)$ rappresentano i punti di intersezione che ci servono.
E' chiaro che deve essere la distanza $PQ=5$ poiché di fatto il segmento di estremi $PQ$ è il segmento di cui parla il problema.
Dunque deve essere:
guarda lo spoiler per confrontare i risultati
il ragionamento sulla terna pitagorica $3,4,5$ è corretto, ma è una soluzione particolare. Cioè la trovi impostando un ragionamento che ti da solo quella soluzione, non è detto che sia l'unica terna che ti da $5$ come ipotenusa. Ad esempio
$sqrt((sqrt5)^2+sqrt(20)^2)=sqrt(5+20)=5$
O anche l'equazione $x^2+y^2=25$ che è una circonferenza di raggio $5$ ha infinite soluzioni ovviamente tutte con $-5leqx,yleq5$ infatti puoi costruire infiniti triangoli rettangoli che abbiano ipotenusa $5$.
Comunque per risolvere inizialmente non devi trovare il coefficiente angolare, anzi, quella è l'ultima cosa. Il problema ti chiede di far si che la retta $r$ di centro $C$ venendo a cadere sulle altre due, formi tra di esse un segmento di lunghezza $5$. E' chiaro che le prime cose da trovare sono le intersezioni $P,Q$ con le due rette.
${(y=m(x+5)+4),(x+2y-1=0):}$ e ${(y=m(x+5)+4),(x+2y+1=0):}$
Ovviamente le due coppie $P(x_a,y_a)$ e $Q(x_b,y_b)$ rappresentano i punti di intersezione che ci servono.
E' chiaro che deve essere la distanza $PQ=5$ poiché di fatto il segmento di estremi $PQ$ è il segmento di cui parla il problema.
Dunque deve essere:
$PQ=sqrt((x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2)=5$
guarda lo spoiler per confrontare i risultati
il ragionamento sulla terna pitagorica $3,4,5$ è corretto, ma è una soluzione particolare. Cioè la trovi impostando un ragionamento che ti da solo quella soluzione, non è detto che sia l'unica terna che ti da $5$ come ipotenusa. Ad esempio
$sqrt((sqrt5)^2+sqrt(20)^2)=sqrt(5+20)=5$
O anche l'equazione $x^2+y^2=25$ che è una circonferenza di raggio $5$ ha infinite soluzioni ovviamente tutte con $-5leqx,yleq5$ infatti puoi costruire infiniti triangoli rettangoli che abbiano ipotenusa $5$.
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