Retta di punti critici con Hessiano a determinante=0

[Shanar]

Salve; avrei bisogno di una mano per portare a termine un esercizio di calcolo di massimi e minimi per una funzione a due variabili. Credo che il procedimento che sto per riportare sia corretto, ma non saprei come proseguire.

$f(x,y) = 3x^4 + y^4 +4x^3 y $

Calcolo le derivate parziali rispetto a x e y:

$f_{x} = 12x^3 +12 x^2 y $

$f_{y} = 4y^3 +4x^3 $

Pongo le derivate uguali a zero, alla ricerca dei punti critici:
\begin{equation}
\begin{cases}
12x^3 +12 x^2 y=0\\4y^3 +4x^3=0
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
x^2 (x+y)=0\\x^3+y^3=0
\end{cases}
\end{equation}
e ottengo il punto $(0,0)$ e la retta $x=-y$ che lo contiene

Calcolo le derivate seconde:

$f_{x x} = 36 x^2 +24xy $

$f_{xy} = f_{yx} = 12 x^2 $

$f_{yy} = 12y^2 $

Ricavo la matrice Hessiana:

$H_{f} (x,y) = ((36 x^2 +24xy,12 x^2),(12 x^2,12y^2)) $

quindi

$H_{f} (-y,y) = ((12y^2,12y^2),(12y^2,12y^2)) $

e $ det(H_{f} (-y,y)) = 144y^4-144y^4=0$

Siamo nel caso di determinante nullo, e possiamo quindi utilizzare il metodo del segno:

$\Deltaf(x,y)=f(x,y)-f(-y,y)$

$\Deltaf(x,y)=3x^4 + y^4 +4x^3 y- [3(-y)^4 + y^4 +4(-y)^3y] = 3x^4 + y^4 +4x^3y $


E ora? Ho guardato diversi esercizi risolti, ma non vedo un modo "banale" per studiare il segno di quella funzione, scomponendola o altro.
Grazie per l'aiuto

[quantunquemente]

se non ho sbagliato i calcoli,la funzione può scomporsi nel seguente modo :
$f(x,y)=(x+y)^2(3x^2-2xy+y^2)=(x+y)^2[(x-y)^2+2x^2]$
quindi,$f(x,y) geq 0$ nel suo campo di esistenza
sulla retta $y=-x$ la funzione si annulla
quindi i punti critici soni punti di minimo relativo e assoluto

[Shanar]

A esser corretta è corretta, ma non mi sembra banale; c'era un qualche "indizio" che ti suggeriva una tale scomposizione, o hai proceduto per tentativi?

[quantunquemente]

ho semplicemente usato il metodo di Ruffini : presa $x$ come variabile,il polinomio si annulla in $-y$ e anche il quoziente della divisione si annulla in $-y$
quindi è divisibile per $(x+y)^2$

[Shanar]

Mmh, non avevo mai sentito parlare di utilizzare Ruffini con due variabili; però sì, suppongo che considerando una come incognita e l'altra come parametro non dovrebbero esserci troppi problemi, ti ringrazio.
Comunque alla fine si trattava solo di manipolazione algebrica, quindi non mi aiuta moltissimo; se non ti scoccia troppo ne propongo un altro simile, senza magari riportare tutti i procedimenti, che i calcoli sono piuttosto lunghi (son sicuro che siano giusti)

$f(x,y) = frac{xy}{x^2+y^2}$

Ponendo il gradiente = 0 si ottengono due rette di punti critici $ y=x $ e $ y=-x $ ed entrambe le Hessiane relative hanno determinante 0.
Posso dedurre qualcosa dal fatto che la funzione nelle due rette assume valori costanti rispettivamente $frac{1}{2}$ e $-frac{1}{2}$, o devo in qualche modo continuare lo studio?

[quantunquemente]

"Shanar":Posso dedurre qualcosa dal fatto che la funzione nelle due rette assume valori costanti rispettivamente $1/2$ e $−1/2$ ?

assolutamente sì
analizza le disequazioni $f(x,y)geq -1/2$ e $f(x) geq1/2$

[Shanar]

Giusto, che domanda scema Ti ringrazio nuovamente

[dissonance]

Un commento: in presenza di una retta di punti critici, il calcolo della matrice Hessiana è inutile, perché essa non è mai definita di segno. Lungo la direzione della retta, le derivate prime si annullano e quindi, in particolare, sono costanti. Questo significa che tale direzione è un autovettore nullo per la matrice delle derivate seconde.

[Shanar]

Giusto; ti ringrazio, buon consiglio per evitare conti inutili