Restrizioni e prolungamenti
Data un'applicazione $f:A to B$, sia $A' \supseteq A$: un'applicazione $g:A' to B' \supseteq B$ si dice prolungamento di $f$ ad $A$ se risulta $g_{A}=f$, ove $g_A$ è la restrizione di $g$ ad $A$.
Questa è la definizione di prolungamento che è venuta fuori dal corso di Analisi. Quella venuta fuori dal corso di Algebra è molto più semplice: data $f:A to B$, se $A' subseteq A$ allora $f_{A'}:A' to B$ si dice restrizione di $f$ ad $A'$ se $forall x in A', f(x)=f_{A'}(x)$. Se $f_{A'}$ è una restrizione di $f$ ad $A'$ si dice che $f$ è un prolungamento o estensione di $f_{A'}$ su $A$.
La cosa evidente è che nella definizione di analisi il codominio dell'estensione diventa $B' \supseteq B$, mentre in quella di Algebra resta $B$.
Sebbene io preferisca la seconda, trovo del tutto condivisibile il tentativo di allargarsi al massimo da parte del prof. di Analisi.
Quello che però non mi trova d'accordo è il seguente fatto: se mi allargo dicendo che il prolungamento è $g:A' supseteq A to B supseteq B$, allora la restrizione $g_{A}$ è $g:A to B' supseteq B$ (la definizione di restrizione è la stessa tra Analisi e Algebra), quindi porre $g_{A}=f$ è sbagliato dacché $f$ ha codominio $B$, non $B'$ e un'applicazione è definita anche per mezzo di dominio e codominio.
Siete d'accordo?
Io avrei usato, in luogo di $g_{A}=f$, la notazione $g_{A}(x)=f(x), forall x in A$, che non implica direttamente l'ugliaglianza delle applicazioni (se non previa segnalazioni dell'identità di domini e codomini, mentre la notazione $g_{A}=f$ presuppone questa identità).
Grazie e serena notte a tutto il forum.
Questa è la definizione di prolungamento che è venuta fuori dal corso di Analisi. Quella venuta fuori dal corso di Algebra è molto più semplice: data $f:A to B$, se $A' subseteq A$ allora $f_{A'}:A' to B$ si dice restrizione di $f$ ad $A'$ se $forall x in A', f(x)=f_{A'}(x)$. Se $f_{A'}$ è una restrizione di $f$ ad $A'$ si dice che $f$ è un prolungamento o estensione di $f_{A'}$ su $A$.
La cosa evidente è che nella definizione di analisi il codominio dell'estensione diventa $B' \supseteq B$, mentre in quella di Algebra resta $B$.
Sebbene io preferisca la seconda, trovo del tutto condivisibile il tentativo di allargarsi al massimo da parte del prof. di Analisi.
Quello che però non mi trova d'accordo è il seguente fatto: se mi allargo dicendo che il prolungamento è $g:A' supseteq A to B supseteq B$, allora la restrizione $g_{A}$ è $g:A to B' supseteq B$ (la definizione di restrizione è la stessa tra Analisi e Algebra), quindi porre $g_{A}=f$ è sbagliato dacché $f$ ha codominio $B$, non $B'$ e un'applicazione è definita anche per mezzo di dominio e codominio.
Siete d'accordo?
Io avrei usato, in luogo di $g_{A}=f$, la notazione $g_{A}(x)=f(x), forall x in A$, che non implica direttamente l'ugliaglianza delle applicazioni (se non previa segnalazioni dell'identità di domini e codomini, mentre la notazione $g_{A}=f$ presuppone questa identità).
Grazie e serena notte a tutto il forum.
Risposte
la cosa mi ha ricordato una discussione che abbiamo avuto tempo fa sul concetto di codominio:
è probabile che qualche piccola discrepanza dipenda dal fatto che in Algebra per "codominio" intendiamo "il secondo insieme", mentre in analisi "l'immagine".
ricontrolla.
quanto alla scrittura compatta $g_A=f$, mi pare che indichi quello che hai scritto tu in maniera estesa:
in nessun caso è precisato se va preso come codominio l'intero secondo insieme oppure solo $f(A)$.
spero di essere stata utile. ciao.
è probabile che qualche piccola discrepanza dipenda dal fatto che in Algebra per "codominio" intendiamo "il secondo insieme", mentre in analisi "l'immagine".
ricontrolla.
quanto alla scrittura compatta $g_A=f$, mi pare che indichi quello che hai scritto tu in maniera estesa:
in nessun caso è precisato se va preso come codominio l'intero secondo insieme oppure solo $f(A)$.
spero di essere stata utile. ciao.
"adaBTTLS":
la cosa mi ha ricordato una discussione che abbiamo avuto tempo fa sul concetto di codominio:
è probabile che qualche piccola discrepanza dipenda dal fatto che in Algebra per "codominio" intendiamo "il secondo insieme", mentre in analisi "l'immagine".
ricontrolla.
quanto alla scrittura compatta $g_A=f$, mi pare che indichi quello che hai scritto tu in maniera estesa:
in nessun caso è precisato se va preso come codominio l'intero secondo insieme oppure solo $f(A)$.
spero di essere stata utile. ciao.
In Analisi abbiamo chiamato codominio quello che in Algebra abbiamo chiamato immagine (cioè in Analisi abbiamo posto $text{codominio} := f(A)$ per $f:A to B$, laddove in algebra era $B$ il codominio e $f(A)$ l'immagine).
Quindi mi dici che, date $f:A to B$ e $g:C to D$ con $A cap C != emptyset$, la notazione $f=g$ indica solamente $f(x)=g(x), forall x in A cap C$, senza indicare implicitamente che deve essere $A=C$ e $B=D$?
Grazie e scusami se ci ho messo tanto per rispondere ma sono stato parecchio indaffarato.
se c'è scritto la restrizione...
in questo caso sarebbe $f_(AnnC)=g_(AnnC)$ equivalente a $f(x)=g(x),AAx inAnnC$
nell'esempio del messaggio precedente c'era infatti $g_A$, non semplicemente $g$.
ciao.
in questo caso sarebbe $f_(AnnC)=g_(AnnC)$ equivalente a $f(x)=g(x),AAx inAnnC$
nell'esempio del messaggio precedente c'era infatti $g_A$, non semplicemente $g$.
ciao.
Credo di avere espresso male il mio dubbio e chiedo scusa.
Date le applicazioni $f:A to B$ e $g:C to D$, con la notazione $f=g$ indichiamo che $A=C \wedge B=D \wedge [f(x)=g(x), \forall x in A=C]$.
Questa è la convenzione che usiamo.
Quando abbiamo $f:A to B$, se $A' subseteq A$, allora $f_{A'}:A' to B$ è la restrizione di $f$ ad $A'$ se e solo se $f_{A'}(x)=f(x), forall x in A' subseteq A$.
Questa è la convenzione che usiamo per la restrizione.
Per il prolungamento la cosa che non condivido è questa: data $f:A to B$, se $A' supseteq A$, chiamiamo prolungamento di $f$ ad $A'$ ogni applicazione $g:A' to B' supseteq B$ tale che $g_{A}=f$; ora, il fatto che come insieme di arrivo dell'applicazione si usi un $B' supseteq B$, mentre in algebra continuiamo a usare $B$, mi sta benissimo, non mi crea problemi, mi crea problemi la scrittura $g_{A}=f$, perché alla luce della convenzione sulla restrizione, $g_A$ indica $g:A to B' supseteq B$ tale che $g_{A}(x)=g(x), forall x in A subseteq A'$, e alla luce della convenzione sulla uguaglianza tra applicazioni, $g_A=f$ indica che il dominio di $g_A$ è lo stesso di $f$ (e qui è OK), indica che $g_A(x)=f(x), forall x in A$ (e qui è OK) e indica che l'insieme di arrivo di $g_A$ è lo stesso di $f$ e qui non è OK la situazione, dacché l'insieme di arrivo di $g_A$ è $B' supseteq B$ e quello di $f$ è $B$, con, dunque, la possibilità che sia $B'!=B$, il che contaddice la convenzione che abbiamo sulla scrittura di uguaglianza tra applicazioni.
Date le applicazioni $f:A to B$ e $g:C to D$, con la notazione $f=g$ indichiamo che $A=C \wedge B=D \wedge [f(x)=g(x), \forall x in A=C]$.
Questa è la convenzione che usiamo.
Quando abbiamo $f:A to B$, se $A' subseteq A$, allora $f_{A'}:A' to B$ è la restrizione di $f$ ad $A'$ se e solo se $f_{A'}(x)=f(x), forall x in A' subseteq A$.
Questa è la convenzione che usiamo per la restrizione.
Per il prolungamento la cosa che non condivido è questa: data $f:A to B$, se $A' supseteq A$, chiamiamo prolungamento di $f$ ad $A'$ ogni applicazione $g:A' to B' supseteq B$ tale che $g_{A}=f$; ora, il fatto che come insieme di arrivo dell'applicazione si usi un $B' supseteq B$, mentre in algebra continuiamo a usare $B$, mi sta benissimo, non mi crea problemi, mi crea problemi la scrittura $g_{A}=f$, perché alla luce della convenzione sulla restrizione, $g_A$ indica $g:A to B' supseteq B$ tale che $g_{A}(x)=g(x), forall x in A subseteq A'$, e alla luce della convenzione sulla uguaglianza tra applicazioni, $g_A=f$ indica che il dominio di $g_A$ è lo stesso di $f$ (e qui è OK), indica che $g_A(x)=f(x), forall x in A$ (e qui è OK) e indica che l'insieme di arrivo di $g_A$ è lo stesso di $f$ e qui non è OK la situazione, dacché l'insieme di arrivo di $g_A$ è $B' supseteq B$ e quello di $f$ è $B$, con, dunque, la possibilità che sia $B'!=B$, il che contaddice la convenzione che abbiamo sulla scrittura di uguaglianza tra applicazioni.
io credo di aver capito che il tuo dubbio riguarda il codominio, ed io continuo a ritenere che in questo caso sia più importante l'immagine.
riprenderò ad esaminare attentamente l'ultima parte del messaggio confrontandola con i post precedenti, però a questo punto ho bisogno di un chiarimento.
ti faccio un esempio:
sia A={1,2,3,4,5}, B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, g(x)=x per ogni x in A
A'={1,2,3,4,5,6,7,8}, B'={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
h(x)=x per ogni x in A'
f(x)=x per ogni x in A, f(6)=8, f(7)=10, f(8)=12
k(x)=x per ogni x in A, k(6)=1, k(7)=2, k(8)=3
per te sono tutte estensioni della g? perché?
riprenderò ad esaminare attentamente l'ultima parte del messaggio confrontandola con i post precedenti, però a questo punto ho bisogno di un chiarimento.
ti faccio un esempio:
sia A={1,2,3,4,5}, B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, g(x)=x per ogni x in A
A'={1,2,3,4,5,6,7,8}, B'={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
h(x)=x per ogni x in A'
f(x)=x per ogni x in A, f(6)=8, f(7)=10, f(8)=12
k(x)=x per ogni x in A, k(6)=1, k(7)=2, k(8)=3
per te sono tutte estensioni della g? perché?
Se devo usare la definizione di Algebra, la risposta è no, anzi nessuna, perché $g : \{1,2,3,4,5\} to \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ non è la restrizione ad $A subseteq A'=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ di alcuna delle tre nuove applicazioni, dal momento che $B'!=B$.
Se devo usare la definizione di Analisi lo sono tutte perché per $x=1,2,3,4,5$ l'immagine tramite l'applicazione è l'elemento $x$ medesimo, al pari di quanto avviene in $g$. Secondo la definizione di Analisi il fatto che sia $B'!=B$ non è importante, dacché è $B' supseteq B$.
Quello su cui non sono d'accordo è l'uso della notazione $g_{A}=f$: questa (più in generale $sigma=tau$) è la notazione per indicare che due applicazioni sono uguali, quindi hanno lo stesso dominio, lo stesso codominio (o insieme d'arrivo) e la stessa "legge" di assegnazione. Ma $g_{A}$ mi indica la restrizione di $g$ ad $A$, la quale restrizione deve conservare il codominio della $g$, ma se $f$ ha un codominio che è una parte di quello dell'estensione la cosa non funge.
Tornando all'esempio tuo: secondo la definizione di Analisi sono tutti prolungamenti di $g$, ma allo stesso tempo non lo sono, perché la restrizione di $h$ ad $A$ ha codominio $B'$ mentre $g$ ha codominio $B$, e, nonostante $forall x in A$ l'assegnazione sia la medesima, la notazione $h_{A}=g$ non è utilizzabile perché diversi i codomini di $g_{A}$ e $h$.
Il fatto che la notazione $sigma=tau$ indichi identità di terne $(X,Y,sigma)$ e $(A;B;tau)$ è convenzione comune per Algebra e Analisi (almeno per le mie
).
Se, al contarario, si indicasse con $sigma=tau$ l'identità di terne $(X,sigma(X)subseteqY,sigma)$ e $(A,tau(A)subseteqB,tau)$, allora non avrei nulla da obiettare nemmeno alla notazione $g_{A}=f$.
Se devo usare la definizione di Analisi lo sono tutte perché per $x=1,2,3,4,5$ l'immagine tramite l'applicazione è l'elemento $x$ medesimo, al pari di quanto avviene in $g$. Secondo la definizione di Analisi il fatto che sia $B'!=B$ non è importante, dacché è $B' supseteq B$.
Quello su cui non sono d'accordo è l'uso della notazione $g_{A}=f$: questa (più in generale $sigma=tau$) è la notazione per indicare che due applicazioni sono uguali, quindi hanno lo stesso dominio, lo stesso codominio (o insieme d'arrivo) e la stessa "legge" di assegnazione. Ma $g_{A}$ mi indica la restrizione di $g$ ad $A$, la quale restrizione deve conservare il codominio della $g$, ma se $f$ ha un codominio che è una parte di quello dell'estensione la cosa non funge.
Tornando all'esempio tuo: secondo la definizione di Analisi sono tutti prolungamenti di $g$, ma allo stesso tempo non lo sono, perché la restrizione di $h$ ad $A$ ha codominio $B'$ mentre $g$ ha codominio $B$, e, nonostante $forall x in A$ l'assegnazione sia la medesima, la notazione $h_{A}=g$ non è utilizzabile perché diversi i codomini di $g_{A}$ e $h$.
Il fatto che la notazione $sigma=tau$ indichi identità di terne $(X,Y,sigma)$ e $(A;B;tau)$ è convenzione comune per Algebra e Analisi (almeno per le mie
).Se, al contarario, si indicasse con $sigma=tau$ l'identità di terne $(X,sigma(X)subseteqY,sigma)$ e $(A,tau(A)subseteqB,tau)$, allora non avrei nulla da obiettare nemmeno alla notazione $g_{A}=f$.
potrebbe non essere vera l'identità $g_A=f$, però di certo non è vera $g_A=g$, nel senso che non puoi restringere il dominio di g e lasciare invariato il codominio. come definisci il codominio di una restrizione?
Data l'applicazione $f:A to B$, il codominio della sua restrizione $f_{A'}$ ad $A' subseteq A$ è lo stesso insieme $B$ che fa da codominio a $f$.
questa infatti era, se non sbaglio, la tua perplessità iniziale!
io non sono molto d'accordo... cercherò conferme o smentite appena potrò.
ciao.
io non sono molto d'accordo... cercherò conferme o smentite appena potrò.
ciao.
Non sei d'accordo sul fatto che il codominio della restrizione sia lo stesso dell'applicazione iniziale?
sì, il punto è proprio questo.
però, se ricordi bene altre discussioni, io parto dalle definizioni di dominio e codominio di una relazione binaria (che sono diverse da "insieme di partenza" e "insieme di arrivo"), concetti che si traducono anche come "insieme di esistenza" e "immagine" quando si parla di funzioni.
negli esempi che ti ho scritto, volutamente, le funzioni non erano suriettive, per cui può capitare che un "prolungamento" abbia immagine: uguale all'immagine della funzione di partenza; "più grande" nel senso che contiene propriamente l'immagine della funzione di partenza, ed in questo secondo caso è possibile che l'immagine del prolungamento sia comunque contenuta nell'insieme di arrivo (da altri chiamato codominio) oppure no, per cui va esteso il "codominio".
parlando del codominio come immagine, mi sembra normale che che nei prolungamenti e nelle restrizioni vari, parlando invece di codominio come insieme di arrivo, potrebbero esserci diverse scuole di pensiero.
sulla scia di queste discussioni, rivedendo diverse definizioni, sei ancora del parere che ci sia contrasto tra i vari testi?
se sì, in quale linea di pensiero ti collochi?
io ho capito che non sei d'accordo su una diversa impostazione tra restrizione e prolungamento, però vorrei invitarti a riflettere su una cosa:
se hai $f:A->B$ e consideri B come codominio anche se la funzione non è suriettiva (posizione degli "altri", non la mia, però ne ho tenuto conto nei post precedenti), allora, se fai una restrizione, perché continui ad essere una funzione sei "obbligato" a precisare il nuovo dominio ma non è necessario dire se l'immagine è la stessa di prima oppure no, perché il codominio continua ad essere lo stesso (con lo stesso significato di prima), se invece fai un prolungamento, si pone il problema se la nuova immagine è contenuta in B, perché potrebbe non esserlo, ovvero, se ti limiti a B, potrebbe non essere una funzione ben definita su tutta l'estensione del dominio.
io, per superare questa diversità d'impostazione, sono del parere che bisogna considerare le immagini (o i codomini con questo significato): non piacerà, perché non risponde a quel concetto che hai espresso tu in precedenza, però sarebbe un modo per uniformare le notazioni tra restrizione e prolungamento.
in questo caso, il codominio "deve" poter variare (anche se naturalmente ci possono essere casi particolari in cui non cambia, vedi funzioni costanti)
non so se ho risposto alla domanda iniziale, né se ho alimentto altri dubbi. fammi sapere.
ciao.
però, se ricordi bene altre discussioni, io parto dalle definizioni di dominio e codominio di una relazione binaria (che sono diverse da "insieme di partenza" e "insieme di arrivo"), concetti che si traducono anche come "insieme di esistenza" e "immagine" quando si parla di funzioni.
negli esempi che ti ho scritto, volutamente, le funzioni non erano suriettive, per cui può capitare che un "prolungamento" abbia immagine: uguale all'immagine della funzione di partenza; "più grande" nel senso che contiene propriamente l'immagine della funzione di partenza, ed in questo secondo caso è possibile che l'immagine del prolungamento sia comunque contenuta nell'insieme di arrivo (da altri chiamato codominio) oppure no, per cui va esteso il "codominio".
parlando del codominio come immagine, mi sembra normale che che nei prolungamenti e nelle restrizioni vari, parlando invece di codominio come insieme di arrivo, potrebbero esserci diverse scuole di pensiero.
sulla scia di queste discussioni, rivedendo diverse definizioni, sei ancora del parere che ci sia contrasto tra i vari testi?
se sì, in quale linea di pensiero ti collochi?
io ho capito che non sei d'accordo su una diversa impostazione tra restrizione e prolungamento, però vorrei invitarti a riflettere su una cosa:
se hai $f:A->B$ e consideri B come codominio anche se la funzione non è suriettiva (posizione degli "altri", non la mia, però ne ho tenuto conto nei post precedenti), allora, se fai una restrizione, perché continui ad essere una funzione sei "obbligato" a precisare il nuovo dominio ma non è necessario dire se l'immagine è la stessa di prima oppure no, perché il codominio continua ad essere lo stesso (con lo stesso significato di prima), se invece fai un prolungamento, si pone il problema se la nuova immagine è contenuta in B, perché potrebbe non esserlo, ovvero, se ti limiti a B, potrebbe non essere una funzione ben definita su tutta l'estensione del dominio.
io, per superare questa diversità d'impostazione, sono del parere che bisogna considerare le immagini (o i codomini con questo significato): non piacerà, perché non risponde a quel concetto che hai espresso tu in precedenza, però sarebbe un modo per uniformare le notazioni tra restrizione e prolungamento.
in questo caso, il codominio "deve" poter variare (anche se naturalmente ci possono essere casi particolari in cui non cambia, vedi funzioni costanti)
non so se ho risposto alla domanda iniziale, né se ho alimentto altri dubbi. fammi sapere.
ciao.
Ti espongo brevemente quello che è la mia modalità di approccio al concetto di applicazione.
Premetto che rifiuto ogni passaggio intermedio tra la definizione tramite la parola "legge" e una successiva definizione formale di applicazione: spesso infatti capita che si inizia col definire le applicazioni come leggi di associazione e poi, osservatene le proprietà e studiate le relazioni, se ne da una definizione formale; io non sono d'accordo.
Dati due insiemi $A$ e $B$ si dice relazione tra $A$ e $B$ una qualsivoglia parte di $A \times B$: quindi $\ccR \text{ è una relazione tra A e B } \stackrel[Def]{<=>} \ccR \subseteq A times B$.
Dicesi applicazione $sigma$ ogni terna ordinata $(A,B,ccF)$ dove $A,B$ sono insiemi e $ccF$ è una relazione tra $A$ e $B$ tale che $\forall x in A, exists ! y in B : (x,y) in \ccF$.
$ccF$ dicesi grafico della applicazione $sigma$ e se $(x,y) in ccF$ allora scriviamo $y=sigma(x)$.
Inoltre $sigma:=(A,B,ccF)$ viende denotata più sinteticamente con $sigma : A to B$ oppure con $A stackrel[sigma]{to} B$.
$A$ dicesi dominio e $B$ dicesi codominio.
$sigma(A)$ dicesi immagine di $A$ tramite $sigma$.
Date due applicazioni $sigma$ e $tau$, con la notazione $sigma=tau$ indichiamo che le due applicazioni hanno il medesimo dominio, il medesimo codominio e il medesimo grafico.
Data una applicazione $sigma : A to B$, se $A' subseteq A$, dicesi restrizione di $sigma$ ad $A$ l'applicazione $sigma |_{A'} : A' to B$ tale che $forall x in A', sigma|_{A'}(x)=sigma(x)$.
Data un'applicazione $tau : A to B$, se $A' supseteq A$, diciamo che $sigma : A' to B$ è un prolungamento di $tau$ ad $A'$ se $tau$ è la restrizione di $sigma$ ad $A$.
Se ho ben capito il tuo approccio è invece questo: dati due insiemi $A$ e $B$ si chiama applicazione di $A$ in $B$ una relazione $f$ (definita come sopra) tale che $\forall x \in A, \exists ! y \in B : (x,y) \in f$ e scriviamo $y=f(x)$ se $(x,y) \in f$.
Se questa è la tua impostazione posso ben capire il fatto che il mio codominio divenga per te quello che per me è l'immagine. E' altrettanto chiaro ed evidente che con questa impostazione la notazione $sigma=tau$ impone una identità di relazioni e, dunque, una identità di (tuoi) codomini per me intesi come insiemi immagine.
E' alterttanto ovvio che in questa impostazione non ci sono incongruenze nel definire un prolungamento della funzione $sigma : A to B$ ad $A' supseteq A$ come quella funzione $tau : A' to B' supseteq B$ associando l'uguaglianza $tau_{A}=sigma$.
Il punto è che nel corso di analisi abbiamo seguito questa impostazione: una relazione $\ccR$ si dice funzionale se $\forall x \in A, \exists ! y \in B : (x,y) \in \ccR$; questa relazione definisce una legge caratterizzata costituita da $ccR$ ma caratterizzata anche da $A$ (insieme di partenza) e $B$ (insieme di arrivo), dicesi funzione e denotasi con $(A,B,ccR)$ o, meglio, con $f:A to B$.
Se $f$ è la funzione $(A,B,ccR)$, allora $ccR$ ne è il grafico.
Segue poi la definizione di restrizione e prolungamento: dati $f:A to B$ e $A' subseteq A$ si dice restrizione $f_{A'}$ si $f$ ad $A'$ quella applicazione $f_{A'} : x \in A' to f_{A'}(x) equiv f(x) \in B$. Se $A'' supseteq A$ si dice prolungamento di $f$ ad $A''$ quella applicazione $g:A'' to B'' supseteq B$ tale che $g_{A}=f$.
A questo punto mi sa che ho frainteso l'impostazione che abbiamo seguito: comincio a pensare che la notazione $(A,B,F)$ mi ha tratto in inganno inducendomi a ritenere che l'impostazione seguita fosse la stessa che io ho fatto mia dall'algebra e ho brevemente esposto in questo messaggio, mentre l'imppostazione che abbiamo seguito è più propriamente la tua.
Che dici?
Grazie e buona domenica.
Premetto che rifiuto ogni passaggio intermedio tra la definizione tramite la parola "legge" e una successiva definizione formale di applicazione: spesso infatti capita che si inizia col definire le applicazioni come leggi di associazione e poi, osservatene le proprietà e studiate le relazioni, se ne da una definizione formale; io non sono d'accordo.
Dati due insiemi $A$ e $B$ si dice relazione tra $A$ e $B$ una qualsivoglia parte di $A \times B$: quindi $\ccR \text{ è una relazione tra A e B } \stackrel[Def]{<=>} \ccR \subseteq A times B$.
Dicesi applicazione $sigma$ ogni terna ordinata $(A,B,ccF)$ dove $A,B$ sono insiemi e $ccF$ è una relazione tra $A$ e $B$ tale che $\forall x in A, exists ! y in B : (x,y) in \ccF$.
$ccF$ dicesi grafico della applicazione $sigma$ e se $(x,y) in ccF$ allora scriviamo $y=sigma(x)$.
Inoltre $sigma:=(A,B,ccF)$ viende denotata più sinteticamente con $sigma : A to B$ oppure con $A stackrel[sigma]{to} B$.
$A$ dicesi dominio e $B$ dicesi codominio.
$sigma(A)$ dicesi immagine di $A$ tramite $sigma$.
Date due applicazioni $sigma$ e $tau$, con la notazione $sigma=tau$ indichiamo che le due applicazioni hanno il medesimo dominio, il medesimo codominio e il medesimo grafico.
Data una applicazione $sigma : A to B$, se $A' subseteq A$, dicesi restrizione di $sigma$ ad $A$ l'applicazione $sigma |_{A'} : A' to B$ tale che $forall x in A', sigma|_{A'}(x)=sigma(x)$.
Data un'applicazione $tau : A to B$, se $A' supseteq A$, diciamo che $sigma : A' to B$ è un prolungamento di $tau$ ad $A'$ se $tau$ è la restrizione di $sigma$ ad $A$.
Se ho ben capito il tuo approccio è invece questo: dati due insiemi $A$ e $B$ si chiama applicazione di $A$ in $B$ una relazione $f$ (definita come sopra) tale che $\forall x \in A, \exists ! y \in B : (x,y) \in f$ e scriviamo $y=f(x)$ se $(x,y) \in f$.
Se questa è la tua impostazione posso ben capire il fatto che il mio codominio divenga per te quello che per me è l'immagine. E' altrettanto chiaro ed evidente che con questa impostazione la notazione $sigma=tau$ impone una identità di relazioni e, dunque, una identità di (tuoi) codomini per me intesi come insiemi immagine.
E' alterttanto ovvio che in questa impostazione non ci sono incongruenze nel definire un prolungamento della funzione $sigma : A to B$ ad $A' supseteq A$ come quella funzione $tau : A' to B' supseteq B$ associando l'uguaglianza $tau_{A}=sigma$.
Il punto è che nel corso di analisi abbiamo seguito questa impostazione: una relazione $\ccR$ si dice funzionale se $\forall x \in A, \exists ! y \in B : (x,y) \in \ccR$; questa relazione definisce una legge caratterizzata costituita da $ccR$ ma caratterizzata anche da $A$ (insieme di partenza) e $B$ (insieme di arrivo), dicesi funzione e denotasi con $(A,B,ccR)$ o, meglio, con $f:A to B$.
Se $f$ è la funzione $(A,B,ccR)$, allora $ccR$ ne è il grafico.
Segue poi la definizione di restrizione e prolungamento: dati $f:A to B$ e $A' subseteq A$ si dice restrizione $f_{A'}$ si $f$ ad $A'$ quella applicazione $f_{A'} : x \in A' to f_{A'}(x) equiv f(x) \in B$. Se $A'' supseteq A$ si dice prolungamento di $f$ ad $A''$ quella applicazione $g:A'' to B'' supseteq B$ tale che $g_{A}=f$.
A questo punto mi sa che ho frainteso l'impostazione che abbiamo seguito: comincio a pensare che la notazione $(A,B,F)$ mi ha tratto in inganno inducendomi a ritenere che l'impostazione seguita fosse la stessa che io ho fatto mia dall'algebra e ho brevemente esposto in questo messaggio, mentre l'imppostazione che abbiamo seguito è più propriamente la tua.
Che dici?
Grazie e buona domenica.
prego.
la mia impostazione è chiara, come l'hai descritta tu.
non è in contraddizione con le relazioni e funzioni definite come terne ordinate (anche noi le abbiamo definite così in Algebra), ma francamente non ricordo il particolare su restrizioni e prolungamenti (le dispense di algebra sono a casa di mia madre): ho solo idea che, come varia il dominio, possa variare anche il codominio in entrambi i casi. in questo modo $tau=(A,B,f)$ è una restrizione di $sigma=(C,D,g)$ se e solo se valgono le seguenti proprietà:
$A subseteq C," "B subseteq D," "f(x)=g(x) AA x in A$. si dice anche che $sigma$ è un prolungamento di $tau$.
spero di non aver dimenticato nulla.
ciao e buona domenica.
la mia impostazione è chiara, come l'hai descritta tu.
non è in contraddizione con le relazioni e funzioni definite come terne ordinate (anche noi le abbiamo definite così in Algebra), ma francamente non ricordo il particolare su restrizioni e prolungamenti (le dispense di algebra sono a casa di mia madre): ho solo idea che, come varia il dominio, possa variare anche il codominio in entrambi i casi. in questo modo $tau=(A,B,f)$ è una restrizione di $sigma=(C,D,g)$ se e solo se valgono le seguenti proprietà:
$A subseteq C," "B subseteq D," "f(x)=g(x) AA x in A$. si dice anche che $sigma$ è un prolungamento di $tau$.
spero di non aver dimenticato nulla.
ciao e buona domenica.
Beh, l'impostazione che ho esposto all'inizio dell'ultimo mio post è quella che è riportata sulle dispense del corso di algebra.
Grazie di tutto e buon proseguimento di serata.
Grazie di tutto e buon proseguimento di serata.
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