Restrizione dimensionale di un insieme misurabile è misurabile?
Dato un insieme limitato e misurabile secondo Peano-Jordan in tre dimensioni \(E\), può mai succedere che l'insieme
\(E_z=\{(x,y)|(x,y,z)\in E\}\)
sia NON misurabile?
A me sembrerebbe di no. Un abbozzo di idea di dimostrazione credo sia questa: per ogni \(\varepsilon\) vogliamo trovare due funzioni semplici maggioranti e minoranti la funzione caratteristica di \(E_z\) tali che la differenza dei loro integrali sia minore di \(\varepsilon\). Dato che \(E\) è integrabile è possibile trovare siffatte funzioni per \(E\), e la restrizione di queste ad ogni fissato \(z\) dovrebbero essere due funzioni semplici che fanno al caso nostro.
Il dubbio mi sorge perché rileggendo il Giusti (Analisi II, pag. 44, all'interno del paragrafo 12.5, edizione 2003) scrive
Ma nelle ipotesi iniziali, \(E_z\) non dovrebbe essere sempre misurabile? Perché "supporlo" (come ipotesi aggiuntiva)?
\(E_z=\{(x,y)|(x,y,z)\in E\}\)
sia NON misurabile?
A me sembrerebbe di no. Un abbozzo di idea di dimostrazione credo sia questa: per ogni \(\varepsilon\) vogliamo trovare due funzioni semplici maggioranti e minoranti la funzione caratteristica di \(E_z\) tali che la differenza dei loro integrali sia minore di \(\varepsilon\). Dato che \(E\) è integrabile è possibile trovare siffatte funzioni per \(E\), e la restrizione di queste ad ogni fissato \(z\) dovrebbero essere due funzioni semplici che fanno al caso nostro.
Il dubbio mi sorge perché rileggendo il Giusti (Analisi II, pag. 44, all'interno del paragrafo 12.5, edizione 2003) scrive
In particolare, sia \(f(x,y,z)\) una funzione continua in un insieme \(E\) limitato e misurabile, e supponiamo che per ogni \(z\) l'insieme \(E_z=\{(x,y)|(x,y,z)\in E\}\) sia misurabile... allora...
Ma nelle ipotesi iniziali, \(E_z\) non dovrebbe essere sempre misurabile? Perché "supporlo" (come ipotesi aggiuntiva)?
Risposte
Se non ricordo male, le sezioni $E_z$ di un misurabile $E subseteq RR^3$ sono quasi tutte misurabili, nel senso che $E_z$ è misurabile (come sottoinsieme di $RR^2$) per q.o. $z in RR$.
Analogo discorso vale con le sezioni di $E$ rispetto ad un qualsiasi fascio improprio di piani: le sezioni sono quasi tutte misurabili (come sottoinsiemi di $RR^2$), ossia sono misurabili per q.o. valore del parametro che individua i piani.
Analogo discorso vale con le sezioni di $E$ rispetto ad un qualsiasi fascio improprio di piani: le sezioni sono quasi tutte misurabili (come sottoinsiemi di $RR^2$), ossia sono misurabili per q.o. valore del parametro che individua i piani.
Grazie gugo82.
La tua risposta mi ha fatto venire in mente questo esempio.
\(A=[0,1]\times [0,1]\), \(B=(0,1)\cap (\mathbf{R}-\mathbf{Q}\)) e \(E=A-(\{1/2\}\times B \)).
Dovrebbe essere, chiedo conferma, che \(E\) è misurabile, ma l'insieme \(E_{1/2}=\{y | (1/2,y)\in E\}\) no.
La tua risposta mi ha fatto venire in mente questo esempio.
\(A=[0,1]\times [0,1]\), \(B=(0,1)\cap (\mathbf{R}-\mathbf{Q}\)) e \(E=A-(\{1/2\}\times B \)).
Dovrebbe essere, chiedo conferma, che \(E\) è misurabile, ma l'insieme \(E_{1/2}=\{y | (1/2,y)\in E\}\) no.
Non lo so e mi sta fatica controllare ma ecco un esempio più semplice: $E=QQ^2\times{0}$ è misurabile ma $E_0=QQ^2$ no.
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