Resto serie... armonica?
Salve.
Ho dei problemi a calcolare il resto di questa serie:
$ sum_(n = 1) ^(oo ) (n + 2ln(n))/(n^4+2n^3+1) $
Converge per confronto con la serie armonica. Devo trovare quanti termini occorre sommare per avere un valore della somma con un errore che non superi $ 10^(-3) $
Ho maggiorato con $ 2 * sum_(n = 1) ^(oo ) 1/(n^2*(n+2)) $ e di nuovo con $ 2 * sum_(n = 1) ^(oo ) 1/(n^3) $
Poi ho posto $ 2 * sum_(n = 1) ^(oo ) 1/(n^3) < 1/1000 $ ma non so come andare avanti
Edit: ho provato anche a calcolare la differenza fra il termine n-esimo e il termine (n+1)-esimo, ma non mi porta da nessuna parte Se si potesse ricondurre a una serie standard, come quella geometrica o di mengoli, sarebbe fatta
Edit 2: dunque ho provato a risolverla cosi': ho verificato che la differenza fra il termine n-esimo e l'n+1-esimo e' minore di $1/3$, quindi la serie sara' $ < sum_(k = n) ^(oo ) (1/3)^k = (1/3)^n * sum_(k = 0) ^(oo ) (1/3)^k$.
Percio' $ (1/3)^n * sum_(k = 0) ^(oo ) (1/3)^k < 1/1000 $ che mi porta a $ (1/3)^n * 3/2 < 1/1000 $ -> $3^n > 1500$ quindi $n > (ln(1500)/ln(3)) = 6.65 $ quindi bisogna sommare almeno 7 termini, se non ho sbagliato i calcoli. Dite che puo' andare? A me sembra di no, in sede d'esame
Ho dei problemi a calcolare il resto di questa serie:
$ sum_(n = 1) ^(oo ) (n + 2ln(n))/(n^4+2n^3+1) $
Converge per confronto con la serie armonica. Devo trovare quanti termini occorre sommare per avere un valore della somma con un errore che non superi $ 10^(-3) $
Ho maggiorato con $ 2 * sum_(n = 1) ^(oo ) 1/(n^2*(n+2)) $ e di nuovo con $ 2 * sum_(n = 1) ^(oo ) 1/(n^3) $
Poi ho posto $ 2 * sum_(n = 1) ^(oo ) 1/(n^3) < 1/1000 $ ma non so come andare avanti
Edit: ho provato anche a calcolare la differenza fra il termine n-esimo e il termine (n+1)-esimo, ma non mi porta da nessuna parte
Se si potesse ricondurre a una serie standard, come quella geometrica o di mengoli, sarebbe fattaEdit 2: dunque ho provato a risolverla cosi': ho verificato che la differenza fra il termine n-esimo e l'n+1-esimo e' minore di $1/3$, quindi la serie sara' $ < sum_(k = n) ^(oo ) (1/3)^k = (1/3)^n * sum_(k = 0) ^(oo ) (1/3)^k$.
Percio' $ (1/3)^n * sum_(k = 0) ^(oo ) (1/3)^k < 1/1000 $ che mi porta a $ (1/3)^n * 3/2 < 1/1000 $ -> $3^n > 1500$ quindi $n > (ln(1500)/ln(3)) = 6.65 $ quindi bisogna sommare almeno 7 termini, se non ho sbagliato i calcoli. Dite che puo' andare? A me sembra di no, in sede d'esame
Risposte
Grazie! Tutto chiaro... Solo che la maggiorazione integrale non l'ho mai sentita nominare! Sto preparando l'esame di analisi 1, e non credo sia in programma (le serie sono un argomento precedente agli integrali)... Perlomeno, non e' mai esplicitamente espresso. Si potrebbe desumere dal capitolo sugli integrali generalizzati, ma non c'e' alcun riferimento a serie/successioni. Ora cerco di capire come funziona 
Con i soli concetti di analisi 1 non e' fattibile?
Ora che la riguardo, la mia approsimazione e' davvero trooooppo grossolana per essere considerata accettabile ahah
Con i soli concetti di analisi 1 non e' fattibile?
Ora che la riguardo, la mia approsimazione e' davvero trooooppo grossolana per essere considerata accettabile ahah
Hai ragione, l'ho trovato fra le slide, e' trattato alla fine del programma. Grazie ancora, ci avrei sbattuto la testa per bene prima di trovarlo
La tua approssimazione nel primo post è proprio sbagliata, non è grossolana. Non puoi stimare \(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3}\) con \(\sum_{k=1}^n \frac{1}{3^k}\), hanno comportamenti completamente diversi. La seconda successione converge esponenzialmente. Nota infatti che hai ottenuto un risultato molto migliore rispetto a quello di TeM: solo sette termini.
Questo post mi ha incuriosito e ho riflettuto sulla maniera di risolvere questo esercizio senza usare il calcolo integrale. Come risultato di queste riflessioni, presento un metodo per stimare il resto
\[
\sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k^3}\]
basato sul confronto con una serie telescopica.
Prendiamo \(N\in \mathbb N\), con l'idea che in seguito \(N\to \infty\). Vogliamo trovare una costante \(C> 0 \) e una successione \(a_k\ge 0 \) tali che [nota]Motivazione: Vogliamo stimare il resto con una serie di cui sappiamo calcolare facilmente la somma. C'è solo un tipo di serie facilmente sommabili: le serie telescopiche.[/nota]
\[
\sum_{k=n}^N \frac{1}{k^3} \le C\sum_{k=n}^N (a_{k-1} - a_k).\]
Qui facciamo un tentativo[nota]Questo ce lo suggerisce l'esperienza, o la fortuna. In ogni caso, se scegliessimo come \(a_k\) una successione che decresce troppo velocemente, come ad esempio \(a_k=k^{-3}\), in seguito troveremmo \(C=+\infty\). Preparando questo post ho fatto alcuni tentativi. Provare non costa niente.[/nota] e poniamo \(a_k=\frac{1}{k^2}\). Ci chiediamo: esisterà una \(C>0\) tale che
\[
\frac{1}{k^3}\le C\left( \frac{1}{(k-1)^2} - \frac{1}{k^2} \right) \ ?\]
Svolgendo i calcoli la disuguaglianza precedente diventa
\[
\frac{(k-1)^2}{k(2k-1)}\le C, \]
quindi prendiamo
\[
C=\sup \left\{ \frac{(k-1)^2}{k(2k-1)}\ :\ k\ge 1\right\}.\]
Non è difficile calcolare che \(C=\frac12\): difatti,
\[
\frac{(k-1)^2}{k(2k-1)}\le \frac12 \]
equivale a \(2\le 3k\) che è sempre verificata per \(k\ge 1\). Abbiamo così dimostrato che
\[
\sum_{k=n}^N \frac{1}{k^3} \le \frac12\sum_{k=n}^N\left( \frac{1}{(k-1)^2} - \frac{1}{k^2} \right) = \frac{1}{2(n-1)^2} -\frac{1}{2N^2}.\]
Prendendo il limite per \(N\to \infty\) si ottiene
\[
\sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k^3}\le \frac{1}{2(n-1)^2}, \]
che è esattamente la stessa stima trovata da TeM con il metodo integrale.
\[
\sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k^3}\]
basato sul confronto con una serie telescopica.
Prendiamo \(N\in \mathbb N\), con l'idea che in seguito \(N\to \infty\). Vogliamo trovare una costante \(C> 0 \) e una successione \(a_k\ge 0 \) tali che [nota]Motivazione: Vogliamo stimare il resto con una serie di cui sappiamo calcolare facilmente la somma. C'è solo un tipo di serie facilmente sommabili: le serie telescopiche.[/nota]
\[
\sum_{k=n}^N \frac{1}{k^3} \le C\sum_{k=n}^N (a_{k-1} - a_k).\]
Qui facciamo un tentativo[nota]Questo ce lo suggerisce l'esperienza, o la fortuna. In ogni caso, se scegliessimo come \(a_k\) una successione che decresce troppo velocemente, come ad esempio \(a_k=k^{-3}\), in seguito troveremmo \(C=+\infty\). Preparando questo post ho fatto alcuni tentativi. Provare non costa niente.[/nota] e poniamo \(a_k=\frac{1}{k^2}\). Ci chiediamo: esisterà una \(C>0\) tale che
\[
\frac{1}{k^3}\le C\left( \frac{1}{(k-1)^2} - \frac{1}{k^2} \right) \ ?\]
Svolgendo i calcoli la disuguaglianza precedente diventa
\[
\frac{(k-1)^2}{k(2k-1)}\le C, \]
quindi prendiamo
\[
C=\sup \left\{ \frac{(k-1)^2}{k(2k-1)}\ :\ k\ge 1\right\}.\]
Non è difficile calcolare che \(C=\frac12\): difatti,
\[
\frac{(k-1)^2}{k(2k-1)}\le \frac12 \]
equivale a \(2\le 3k\) che è sempre verificata per \(k\ge 1\). Abbiamo così dimostrato che
\[
\sum_{k=n}^N \frac{1}{k^3} \le \frac12\sum_{k=n}^N\left( \frac{1}{(k-1)^2} - \frac{1}{k^2} \right) = \frac{1}{2(n-1)^2} -\frac{1}{2N^2}.\]
Prendendo il limite per \(N\to \infty\) si ottiene
\[
\sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k^3}\le \frac{1}{2(n-1)^2}, \]
che è esattamente la stessa stima trovata da TeM con il metodo integrale.
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